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記事No.56018に関するスレッドです
★ 積分 / 積分
画像が逆さまになっていてすみません

問3問4問5がわかりません

答えは問題の近くに書いておきました

三問と多いですがよろしくお願いします。
No.56018 - 2019/01/09(Wed) 20:30:12
☆ Re: 積分 / Masa
問3
円x^2+y^2=2の内部で、放物線x=y^2の右側の部分の面積となります。
円と放物線の交点は(1,1)、(1,-1)となるので（x≧0に注意してx^2+x=2を解く）、
0≦x≦1かつ-√x≦y≦√xの部分の面積と、1≦x≦√2かつ-√(2-x^2)≦y≦√(2-x^2)の部分の面積の合計です。
積分で表すと、求める面積は
2∫[0→1]√xdx+2∫[1→√2]√(2-x^2)dxとなります。
第2項はx=√2sinθと置換して計算するといいと思います。

問4
求める曲線をyの式で表すと、y=x±√(2x)となります（もちろんx≧0です）。
このうち、y=x+√(2x)は単調増加でx=0以外にxとの交点はないので、今回の計算には無関係です。
一方、y=x-√(2x)は、x=0の他にx=2でもx軸と交わることになり（0=x-√(2x)を解く）、
x=0,2でy=0、0<x<2でy<0、2<xでy>0となります。
求める面積を積分で表すと
-∫[0→2]{x-√(2x)}dxとなり、これを計算すれば答えとなります。

問5
C1:y=x^2とlの接点のx座標をtとすると、y=2xより、lの方程式はy-t^2=2t(x-t)、整理してy=2tx-t^2となります。
C2:y=x^2-2ax+a(a+1)とl:y=2tx-t^2が接するとき、
方程式x^2-2ax+a(a+1)=2tx-t^2が重解を持つことになります。
整理してx^2-2(t+a)x+a(a+1)+t^2=0…?@
判別式をDとしてD/4=0より、
D/4=(t+a)^2-{a(a+1)+t^2}=0
整理してa(2t-1)=0、a>0よりt=1/2…?A
C2とlの接点のx座標は、?@にt=1/2を代入して
x^2-2(a+1/2)+a(a+1)+1/4=0
整理して{x-(a+1/2)}^2=0より、x=a+1/2…?B
また、C1とC2の交点のx座標は、x^2=x^2-2ax+a(a+1)を解いて
a>0より、x=(a+1)/2…?C
?A?B?Cより、C1とlの接点、C1とC2の交点、C2とlの接点のx座標がそれぞれ1/2、(a+1)/2、a+1/2となることが分かりました。
また、lの方程式はy=2tx-t^2にt=1/2を代入してy=1/4です。
これより、求める面積は
∫[1/2→(a+1)/2]{x^2-(x-1/4)}dx+∫[(a+1)/2→a+1/2][{x^2-2ax+a(a+1)}-(x-1/4)]dx
=∫[1/2→(a+1)/2](x-1/2)^2dx+∫[(a+1)/2→a+1/2]{x-(a+1/2)}^2dx　※2乗の形にした方が計算しやすいと思います
となり、これを計算すれば答えとなります。
No.56101 - 2019/01/14(Mon) 14:50:29