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記事No.56110に関するスレッドです
★ 三角関数に関する問題です / たぁ
0≦x≦πとする。
xの関数y=sin2x-2(sinx+cosx)がある。次の問いに答えよ。
t=sinx+cosxとする。
sin2x-2(sinx+cosx)-k=0 (kは実数の定数)の実数解の個数を求めよ。
この問題の解説をお願いします。

因みに答えは
k<-2,2<kのとき0個
k=-2のとき2個
-2<k<1-2√2のとき3個
k=1-2√2のとき2個
1-2√2<k≦2のとき1個 です。
No.56062 - 2019/01/12(Sat) 23:24:31
☆ Re: 三角関数に関する問題です / X
t=sinx+cosx (A)
とすると、三角関数の合成により
t=(√2)sin(x+π/4)
で
0≦x≦π
により
π/4≦x+π/4≦5π/4
-1≦t≦√2 (B)
ここで
π/4≦x+π/4＜π/2,π/2＜x+π/4≦3π/4
つまり
1≦t＜√2のとき、tの値一つに対し、xの値は2つ対応 (P)
し、
3π/4＜x+π/4≦5π/4,x+π/4=π/2
つまり
-1≦t＜1,t=√2のときt,xの値は1対1に対応する (Q)
ことに注意します。

さて(A)より
t^2=(sinx+cosx)^2
右辺を展開し、整理をすると
t^2=1+sin2x
∴sin2x=t^2-1
よって問題の方程式である
sin2x-2(sinx+cosx)-k=0
は
t^2-2t-1=k (C)
となります。
そこで
f(t)=t^2-2t-1
と置き、横軸にtを取った
y=f(t)
のグラフを(B)の範囲で描き、
このグラフと、直線
y=k
との交点の個数がkの値によって
どうなるかを考えます。
但し、(P)(Q)により、上記の交点の
t座標によって、対応するxの個数が
変わりますので、注意が必要です。
No.56065 - 2019/01/12(Sat) 23:41:22
☆ Re: 三角関数に関する問題です / たぁ
丁寧にありがとうございます。
ここで、一つ疑問なのですが、
tの値に対するxの値の具体的な求め方を教えていただくことはできますか。グラフを書いても分からなくて、、😭
No.56082 - 2019/01/13(Sun) 17:27:16
☆ Re: 三角関数に関する問題です / たぁ
(P),(Q)の求め方です。グラフなどがあれば幸いです、、
No.56084 - 2019/01/13(Sun) 17:30:19
☆ Re: 三角関数に関する問題です / X
回答の前に訂正を。
No.56065で誤りがありましたので直接修正して
おきました(ごめんなさい)ので、
再度ご覧下さい。


で、回答ですが、
この問題は方程式を満たすxの値「の数」を
問題にするのであって、値そのものを求める
必要は全くありません。

但し、tとxの間の対応関係について
もう少し詳しく書いておきます。

x+π/4では見にくいので
π/4≦θ≦5π/4 (A)
において
t=(√2)sinθ (B)
を考えてみます。

例えば
t=(√6)/2のとき
(B)より
sinθ=(√3)/2
∴単位円により(A)に含まれるθの値は
θ=π/3,2π/3
つまり、このときは
tの値一つに対しθの値は二つ対応
します。

これに対し、例えば
t=(√2)/2のとき
(B)より
sinθ=1/2
∴単位円により(A)に含まれるθの値は
θ=5π/6
(θ=π/6は(A)に含まれないので除外されます)
つまり、このときは
tの値とθの値は一対一に対応
します。

さて、以上の例を踏まえて次のように考えます。
(B)より
sinθ=t/√2
ここから、まず単位円上に(A)の範囲の円弧を描き
この円弧と、x軸平行の直線である
y=t/√2
との交点の個数は、tの値を変化させたときに
どうなりますでしょうか？。
No.56098 - 2019/01/14(Mon) 05:51:48
☆ Re: 三角関数に関する問題です / たぁ
円を書いてxとtの関係性を考えてみました。
ここから、kの範囲とどのように絡めるのか、、
No.56110 - 2019/01/14(Mon) 19:03:27
☆ Re: 三角関数に関する問題です / X
返事が遅れました。


では、y=f(t)のグラフの
1≦t＜√2の範囲の部分を赤線で
-1≦t＜1,t=√2の範囲の部分を青線で
描いてみて下さい。

上記のグラフと
直線y=k (L)
との交点について
(L)と赤線の交点1つに対し、問題の
方程式の解xの数は2つ対応します。
(L)と青線の交点1つに対し、問題の
方程式の解xの数は1つ対応します。

以上を踏まえて(L)の位置を動かして
考えてみましょう。
(t,kは連動しておらず、独立で変化
していることに注意して下さい。)
No.56153 - 2019/01/17(Thu) 05:30:47
☆ Re: 三角関数に関する問題です / たぁ
赤線と青線の違いとは？？
No.56161 - 2019/01/17(Thu) 20:17:23
☆ Re: 三角関数に関する問題です / X
ごめんなさい。No.56153で誤りがあったので
直接修正しました。
再度ご覧下さい。
No.56163 - 2019/01/17(Thu) 22:40:23
☆ Re: 三角関数に関する問題です / たぁ
解決しました。ありがとうございます😊
No.56172 - 2019/01/18(Fri) 15:43:07