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記事No.56261に関するスレッドです
★ ベクトルの存在範囲 / たぁ
添付問題の解答、解説をお願いします。
No.56028 - 2019/01/10(Thu) 15:43:50
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / たぁ
どなたか分かる方はいらっしゃいますかね、、😭
No.56083 - 2019/01/13(Sun) 17:28:50
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / noname
基礎的な問題なので、参考書でも見れば解決すると思いますが、
存在範囲を図示する問題では、範囲の端の値を入れてみて点をとっていくと良いです。
No.56102 - 2019/01/14(Mon) 15:08:04
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / たぁ
参考書等を見ましたが、分かりません。
特に(2)が分かりません。解説可能でしょうか？
No.56108 - 2019/01/14(Mon) 18:34:40
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / noname
ではとりあえず前半。
(2)はまずなす角を求めるのにb↑・c↑が必要になる。
b↑・c↑=b↑・{a↑-(1/3)b↑}
=a↑・b↑-(1/3)|
b↑|^2
a↑・b↑を求める必要がある。
AB=|b↑-a↑|
AB^2=|b↑-a↑|^2
6=|b↑|^2-2a↑・b↑+|a↑|^2
6=9-2a↑・b↑+3
2a↑・b↑=6
a↑・b↑=3
(このへんは余弦定理使ってもよし)
b↑・c↑=3-3=0
なす角90度
No.56123 - 2019/01/15(Tue) 17:28:26
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / noname
何か5行目変なとこに改行入ったけど気にせず。

OQ↑=αa↑+βb↑+γc↑を見ると、
平面なのでベクトルは2つで十分なはずなのに、3つも使っているのがおかしいことに気づく。
なぜわざわざb↑,c↑のなす角を求めさせているか察すると、a↑をb↑,c↑で表せばよいことが分かる。
OQ↑={(1/3)α+β}b↑+(α+γ)c↑
α,β,γはそれぞれ独立な変数なので、
0≦(1/3)α+β≦4/3,0≦α+γ≦2
つまり、存在範囲は、
OBをBの方に4/3倍に延長した線分OB',
OCをCの方に2倍に延長した線分OC'を辺にもつ長方形の周および内部。
また、|c↑|を求めると、OC=√2であることがわかる。
4×2√2=8√2
No.56124 - 2019/01/15(Tue) 17:58:05
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / たぁ
解説ありがとうございます。点Qの存在範囲の面積の答えが7√2になっているのですが分かりますか？

また、点P,Qの存在範囲を図示することは
可能でしょうか？
No.56139 - 2019/01/16(Wed) 19:40:54
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / noname
あ、ごめん、これαが連動しちゃうからこんな単純じゃないわ。
No.56154 - 2019/01/17(Thu) 10:27:07
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / noname
答えを出すだけなら、a↑=(1,√2),b↑=(3,0),c↑=(0,√2)として、
OQ↑=αa↑+βb↑+γc↑=((α+3β),(α+γ)√2)
(α,β,γ)=(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)
のときの点をすべて描いてみればいい。
No.56156 - 2019/01/17(Thu) 12:45:55
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / たぁ
a↑=(1,√2)となるのはなぜですか？
また、図示するのが難しいです。
図示するのは無理な問題なのでしょうか？
No.56158 - 2019/01/17(Thu) 19:17:32
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / noname
点を書いてみましたか？
私が図示しないのは、ここまでヒント出せば代入しかできない中学生でも図示ぐらいはできるから自分でやれよ、という意味です。
a↑=(1,√2)としたのは、最初の三角形の条件からcos∠AOB=1/√3で、tan∠AOB=√2/1なので、A(1,√2)とすればOA=√3となって条件を満たすからです。
図示の様々な方法については、あなたが点を書いてから説明しましょう。
No.56167 - 2019/01/18(Fri) 12:08:33
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / たぁ
点とは何でしょうか？？
また、図示の方法に様々なやり方があるのですか？？
苦手な範囲で手が出ません、、
No.56173 - 2019/01/18(Fri) 15:46:21
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / noname
a↑=(1,√2),b↑=(3,0),c↑=(0,√2)として、
OQ↑=αa↑+βb↑+γc↑=((α+3β),(α+γ)√2)
(α,β,γ)=(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)
のときの点Qをすべて書きましょう。
No.56188 - 2019/01/19(Sat) 06:37:15
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / たぁ
点を代入して図示してみました。
ここから点Qの存在範囲はどこになるのでしょうか？
No.56191 - 2019/01/19(Sat) 12:31:17
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / noname
ちょっと違ってるけどOK,説明しよう。その8つの点のうち、一番外側にある6つの点を結んだものが範囲となる。これが１つ目の方法。「片っ端から代入して点を書く」方法。ベクトルの係数は一次式になっていることが多く、範囲の端の値を入れるだけで限界が分かる。
No.56192 - 2019/01/19(Sat) 13:13:24
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / たぁ
> ちょっと違ってるけどOKとありますが、何がどのように違うのでしょうか？また、その8つの点のうち、一番外側にある6つの点を結んだものとはどこの点でしょうか？
No.56193 - 2019/01/19(Sat) 13:26:47
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / noname
２つ目の方法は正統派で、「変数をいくつか止めておく」方法。OQ↑=αa↑+βb↑+γc↑で、γ=0としておくと、OQ↑=αa↑+βb↑(0≦α≦1,0≦β≦1)このとき存在範囲は(0,0),(3,0),(1,√2),(4,√2)を頂点とする平行四辺形の周および内部となる。
次に、このままγの値を動かす。γはc↑の係数、そしてc↑はb↑に垂直なので、γを大きくするとさっきの平行四辺形が上に平行移動することになる。
γを1まで上げると、(0,0)だった点は(0,√2)まで持ち上がる。(3,0)は(3,√2),(1,√2)は(1,2√2),(4,√2)は(4,2√2)まで連続的に移動する。移動途中に通る点はすべて存在範囲に含まれ、方法1と同じ6角形が範囲と分かる。
No.56194 - 2019/01/19(Sat) 13:33:19
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / たぁ
γを大きくするとさっきの平行四辺形が上に平行移動することになる。
γを1まで上げると、(0,0)だった点は(0,√2)まで持ち上がる。

この部分がイマイチ分かりません。
以下の文章は同様に移動しいるのは分かりますがわ、😭
No.56195 - 2019/01/19(Sat) 13:44:21
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / noname
外側の6つの点とは、
(1,√2),(3,√2)以外の6点です。
No.56196 - 2019/01/19(Sat) 13:51:18
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / たぁ
なぜ γを大きくするとさっきの平行四辺形が上に平行移動することになるのでしょうか？
また、γを1まで上げると、(0,0)だった点は(0,√2)まで持ち上がるのでしょうか？

この部分がイマイチ分かりません。
詳しく解説をお願いしたいです😭
No.56198 - 2019/01/19(Sat) 18:21:27
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / noname
なぜ移動するかって、ベクトルの合成なんですが。
単純な例を挙げると、
2つのベクトルOA↑=a↑=(1,2)、OB↑=b↑=(0,3)があったとき、OQ↑=a↑+βb↑(0≦β≦1)とすると、
点Qは、
β=0のとき、OQ↑=a↑でAと一致。
β=1/2のとき、OQ↑=a↑+(1/2)b↑
a↑にb↑の半分を付け足すので、点Qはβ=0のときの位置から上に1.5だけ移動する。
β=1のときOQ↑=a↑+b↑で、点Qはβ=0のときの位置から上に3だけ移動する。
No.56241 - 2019/01/21(Mon) 13:11:27
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / たぁ
OQ↑=αa↑+βb↑+γc↑で、γ=0としておくと、OQ↑=αa↑+βb↑(0≦α≦1,0≦β≦1)になりますよね？OQ↑=a↑+βb↑になるんですか？

またOQ↑=αa↑+βb↑ のとき存在範囲は(0,0),(3,0),(1,√2),(4,√2)を頂点とする平行四辺形の周および内部となる。とありますが、この四つの頂点はどのように求めたのでしょうか？
No.56248 - 2019/01/21(Mon) 17:00:25
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / noname
あの、まず、No56241のレスでは今回の問題とは別の、単純な例を新たに挙げていることは伝わっていますか？
No.56250 - 2019/01/21(Mon) 18:03:48
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / たぁ
失礼しました。例でしたね。

ところでNo.56194において
OQ↑=αa↑+βb↑ のとき存在範囲は(0,0),(3,0),(1,√2),(4,√2)を頂点とする平行四辺形の周および内部となる。とありますが、この四つの頂点はどのように求めたのでしょうか？
No.56251 - 2019/01/21(Mon) 18:24:07
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / noname
その前に、ベクトルの合成の件、
γを大きくすると点が上に移動することについては理解できましたか？
No.56253 - 2019/01/21(Mon) 18:35:41
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / たぁ
具体的にβに数値を代入して確認することができました
No.56255 - 2019/01/21(Mon) 18:57:13
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / noname
めんどくさいので画像にします。1
No.56256 - 2019/01/21(Mon) 19:19:02
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / noname
画像その1
No.56257 - 2019/01/21(Mon) 19:20:11
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / noname
画像その2
No.56258 - 2019/01/21(Mon) 19:21:19
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / noname
画像その3
No.56259 - 2019/01/21(Mon) 19:22:29
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / たぁ
丁寧にありがとうございます。
解決しました！
No.56260 - 2019/01/21(Mon) 19:40:12
☆ Re: ベクトルの存在範囲 / noname
一応、3つめの方法。
No.56261 - 2019/01/21(Mon) 19:48:55