ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / たぁ

引用

この問題の計算過程が分かりません。
解説をお願いします。

No.56456 - 2019/02/03(Sun) 15:38:52

☆ Re: / らすかる

引用

例えばθ=πのとき
∫[cosθ～1]√(1-x^2)dx=∫[-1～1]√(1-x^2)dx=π/2なので
S(π)=(3√3/2)sinπcosπ+(√3)∫[cosπ～1]√(1-x^2)dx
=(√3)π/2≒2.72となり、
3/4+(√3/6)π≒1.6569は最大値ではありません。
何か他に条件があるのでは？

No.56457 - 2019/02/03(Sun) 16:02:19

☆ Re: / たぁ

引用

0<θ<2/π でした。

No.56459 - 2019/02/03(Sun) 16:59:31

☆ Re: / たぁ

引用

訂正です。
0<θ<π/2

No.56460 - 2019/02/03(Sun) 17:00:25

☆ Re: / らすかる

引用

∫[cosθ～1]√(1-x^2)dxは
x=costとおけばdx=-sintdt, x=cosθのときt=θ, x=1のときt=0なので
∫[cosθ～1]√(1-x^2)dx
=∫[θ～0]√{1-(cost)^2}・-sintdt
=∫[0～θ](sint)^2 dt
=(1/2)∫[0～θ]1-cos2tdt
=(1/4)[2t-sin2t][0～θ]
=θ/2-sin2θ/4
S(θ)=(3√3/2)sinθcosθ+(√3){θ/2-sin2θ/4}
=(3√3/4)sin2θ+(√3){θ/2-sin2θ/4}
=(√3/2)(sin2θ+θ)
S'(θ)=(√3/2)(2cos2θ+1)
2cos2θ+1=0を解くとθ=π/3なので
S'(θ)はθ＜π/3で正、π/3＜θで負
従って最大値はθ=π/3のときで
S(π/3)=(√3/2)(sin(2π/3)+π/3)
=3/4+(√3/6)π

No.56463 - 2019/02/03(Sun) 18:56:17

☆ Re: / たぁ

引用

ありがとうございます😊

No.56479 - 2019/02/04(Mon) 15:07:18