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記事No.56607に関するスレッドです
★ (No Subject) / たぁ
方程式x^3=(k-1)(x+1)^2が相異なる
3つの実数解を持つような定数kの値の範囲は何か。

答えはk<-23/4です。
解説をお願いします。
No.56589 - 2019/02/07(Thu) 19:54:39
☆ Re: / IT
（概略）定数を分離します。

x=-1 は解でないので　x^3=(k-1)(x+1)^2 ⇔　k-1=(x^3)/(x+1)^2
f(x)=(x^3)/(x+1)^2 ,(x≠-1)とおくと　f'(x)=x^2(x+3)/(x+1)^3,(x≠-1)

f(x)の増減をしらべることによって、求める条件は　k-1＜f(-3)
f(x)はx=-1では不連続でlim(x→-1-0)f(x)=-∞、lim(x→-1+0)f(x)=-∞、それ以外では連続。
lim(x→-∞)f(x)=-∞、lim(x→+∞)f(x)=+∞、
もポイントです。
No.56595 - 2019/02/07(Thu) 21:36:46
☆ Re: / たぁ
返信ありがとうございます。
グラフの概形としてはどのような形になるでしょうか？
No.56605 - 2019/02/08(Fri) 10:24:15
☆ Re: / IT
下記のようなグラフです
No.56607 - 2019/02/08(Fri) 19:08:18
☆ Re: / X
横から失礼します。
ITさんのグラフには書かれていませんかが
このグラフは漸近線を持ちます。
x^3を(x+1)^2で割り算することにより
f(x)=x-2+(5x+2)/(x+1)^2
∴
lim[x→±∞]{f(x)-(x-2)}=0
ですのでy=f(x)のグラフは
直線y=x-2
を漸近線に持ちます。
No.56613 - 2019/02/09(Sat) 08:33:20
☆ Re: / たぁ
質問なのですが、y=x-2を漸近線に持つのに、y=x-2と交点を持つ？のは何故でしょうか？
No.56625 - 2019/02/09(Sat) 20:19:43
☆ Re: / IT
何故かと聞かれても、事実そうですからとしか答えようがありません。なお、漸近線の定義は下記などを参考にしてください。
「「漸近線を曲線が，限りなく近づくが，決して交わることのない直線」と定義していないことに注意しておきたい。曲線が漸近線と交わることは許される。直線も曲線の一部であると考えれば，直線はそれ自身が漸近線であると考えることもできるが，それは除くことにするのが一般的であろう。」

https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/80/80-6.pdf
No.56627 - 2019/02/09(Sat) 21:33:31
☆ Re: / らすかる
例えばy=sinx/xはx→±∞のとき振動しながら0に近づきますので、
漸近線y=0と無限回交わります。
漸近線であることと交わるかどうかは関係ありません。

lim[n→∞]a[n]=αも、途中のnでa[n]=αであっても
よいわけですから、これと同じですね。
No.56632 - 2019/02/09(Sat) 22:28:52
☆ Re: / たぁ
ありがとうございます！
No.56633 - 2019/02/09(Sat) 23:22:00