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記事No.56706に関するスレッドです
★ 微積 / ゴクリ
先日の微積の問題（画像にある問題）についてアドバイスありがとうございました。

アドバイスを参考に（２）、（３）、（４）について考えてみましたが、うまく出来ません。

（２）
(logb)^k/b^a→0は、どこまで既知としていいかによって変わる。
logbの発散がくっそ遅いから自明にしてしまうか、ロピタル使うか、ロピタル縛りで頑張るか。
これについての意味が分かりません。


（３）
「誘導通りやれば、数列{J_n}の初項と階差が求まるので、添字のズレに注意して計算すればOK」とのことですが、画像にあるところまでの計算で止まってしまいます。

（４）
（３）が出来ないので、当然（４）も出来ていません。e^xのテイラー展開をどのように活用すればよいですか？


あと、問題文の条件に整数k≧0、k≧1というのがありますが、これについてはどのように考慮して計算すればよいですか？

長くなりましたが、よろしくお願いします。
No.56706 - 2019/02/12(Tue) 15:38:31
☆ Re: 微積 / noname
ガッツがありますね。
とりあえず(2)について。
数３で詳しくやる話ですが、極限を考えるときは不定形に気をつけなければなりません。
例えば、x→∞のとき、
1/x^2→+0など分子が定数のものは問題ないのですが、一般化してx^n/x^2(nは自然数)の極限を考えると、これはn次第で結果が変わります。
?@n=1ならば、x/x^2=1/xなので極限は0
?An=2ならば、x^2/x^2=1なので極限は1
?Bn=3ならば、x^3/x^2=xなので極限は∞
このように関数次第で極限が変わってしまう形を不定形といいます。
この例の場合は分子分母がそれぞれ∞に発散するので∞/∞型不定形といいます。
こういうことがあるので、f(x)/g(x)の極限を調べるときは、どっちの発散がより速いかを比べて結論を出す必要があります。
さて、(logb)^k/b^aはb→∞のとき、分子も分母も∞に発散してしまう∞/∞型不定形です。
このままでは0に収束するかどうかは明らかではありません。
No.56709 - 2019/02/12(Tue) 17:38:45
☆ Re: 微積 / noname
そこで便利なのがロピタルの定理です。
ざっくり言うと「もとのf(x)/g(x)の極限の代わりにf'(x)/g'(x)の極限を調べてもよい」という定理です。
ただし、使えるときの条件があるので、断っておく必要があります。詳細は必要ならググるなりして調べてください。
今回は「∞/∞型不定形であること」「分母について(b^a)'≠0」が分かっているので、使ってよいです。
分子分母を1回微分しただけでは状況は大して変わりませんが、繰り返せばkは自然数なのでいずれは底をつきます。そのときの極限が0と分かれば、もとの極限も0と言えます。
No.56710 - 2019/02/12(Tue) 19:25:51
☆ Re: 微積 / noname
(3)のJ_0(a)は結果的には合ってますが、I_0(a,∞)を求めるとき，先に(logx)^0=1を使って∫[e,∞]x^(-a-1)dxにした方がいいと思います。
J_k(a)-J_(k-1)(a)の計算は間違いです。うまくI_(k-1)(a,∞)が消えるはずです。
No.56714 - 2019/02/12(Tue) 19:43:07
☆ Re: 微積 / noname
ああ、間違いというか、やりすぎというか。
(2)の結果を使うのはI_k(a)のほうだけです。I_(k-1)(a)までやると収拾がつかなくなります。

k≧0とk≧1については、式のつじつまが合ってればOKです。
この出題者は初項を0番目とする派の人なので高校の数Bとのギャップに気を付けましょう。
例えば式の一部にJ_(k-1)が含まれるところでは、k=0を入れてしまうと項がないのでアウトですが、k=1はギリセーフです。
No.56718 - 2019/02/12(Tue) 20:10:34