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記事No.56912に関するスレッドです
★ (No Subject) / 独学は辛いよ
a,bを定数とする。関数f(x)=x^(3)+ax^(2)+bx-2が次の２つの条件(i),(ii)を満たす。
(i) f(0),f'(0),f"(0),f"'(0)の符号が交互にかわる。
(ii)x>0の範囲でf(x)=0の解はx=
2だけである。
このとき、aの値の範囲を求めるとき、f(1)の値を調べる理由が分かりません。また、f(1)<0になるのは何故でしょうか？
解説をお願いします。
No.56910 - 2019/02/24(Sun) 17:25:35
☆ Re: / らすかる
唐突にf(1)を調べているのではなく、
その前にいろいろ書かれているのではないでしょうか？
もし書かれているのであれば、
f(1)の値を調べる前までの部分を書いて下さい。
No.56911 - 2019/02/24(Sun) 17:42:33
☆ Re: / 独学は辛いよ
解説です。
No.56912 - 2019/02/24(Sun) 17:45:11
☆ Re: / らすかる
右側が切れている行がf(1)を調べている理由なのですが、
…=3(x^2-1)+2a(x-1)=(x-1)(3x+3+2a)
となっているのでしょうか。
この式によって、f(x)はx=1とx=-(2a+3)/3で極値をとることがわかります。
（ただし-(2a+3)/3=1すなわちa=-3のときは極値なし）
他の条件からf(0)＜0,f(2)=0であることがわかっていますので
(ii)を満たすためには0＜x＜2でf(x)＜0でないといけません。
-(2a+3)/3＞1すなわちa＜-3のときf(1)が極大値なので
「f(1)＜0」⇔「0＜x＜2でf(x)＜0」
0＜-(2a+3)/3＜1すなわち-3＜a＜-3/2のときf(-(2a+3)/3)が極大値ですが
-3＜a＜-3/2ならばf(-(2a+3)/3)=a(2a+9)^2/27＜0なので
この場合は0＜x＜2でf(x)＜0が成り立ちます。
f(1)が極大でないときでもf(1)＜0は満たさなければなりませんので、
結局単にf(1)＜0だけ満たせば十分です。

# しかしこの解説では-3＜a＜-3/2のときにf(-(2a+3)/3)＜0を
# 満たすことに言及していませんので、この解説では不十分だと思います。
No.56913 - 2019/02/24(Sun) 18:14:33
☆ Re: / 独学は辛いよ
丁寧にありがとうございます。
No.56915 - 2019/02/24(Sun) 18:54:57