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記事No.57038に関するスレッドです
★ (No Subject) / 元中３
写真の答えはどうなりますか？
数2の図形と方程式の分野の内容を利用して解けないかなと思い立式して変形しましたが上手くいきませんでした。
No.57038 - 2019/03/05(Tue) 22:00:18
☆ Re: / ＩＴ
数３の微分を使わないと難しいのでは？
記述を少し簡単にするためr=1のときを考えます。

大まかに書くと

a^2+b^2=1,b≧0より　b=(1-a^2)^(1/2)
直線AB：y=b-(b/a)x

0≦s≦aについて
　線分ABと直線x=sの交点のy座標をtとすると
　t＝b-(b/a)s=(1-a^2)^(1/2)-[{(1-a^2)^(1/2)}/a]s

a=cosθ、b=sinθとおくと
t(θ)=sinθ-stanθ=sinθ(1-s/cosθ)
t '(θ)=cosθ-s/(cosθ)^2={(cosθ)^3-s}/(cosθ)^2

t(θ)の増減を調べると、(cosθ)^3-s=0すなわちa=s^(1/3)のときt(θ)は最大
最大値は[{1-s^(2/3)}^(1/2)][1-s/{s^(1/3)}]={1-s^(2/3)}^(3/2)

よって、線分ABの通過範囲は、曲線y={1-x^(2/3)}^(3/2)とx軸とy軸に囲まれた範囲
No.57039 - 2019/03/05(Tue) 22:55:49
☆ Re: / らすかる
微分を使わずにやると

上と同じく簡単のためr=1として
a^2+b^2=1,0＜a≦1,0≦b≦1,b=√(1-a^2)
直線ABはy=b(1-x/a)
0≦s≦aについて線分ABと直線x=sの交点のy座標をt(0≦t≦1)とすると
t=b(1-s/a)={√(1-a^2)}(1-s/a)
つまりあるsに対して0≦s≦a≦1のときにtが最大となるようなaを考えればよい。
「tが最大値」⇔「t^2が最大値」なのでt^2が最大となる時を考える。
t^2=(1-a^2)(1-s/a)^2=(1-a^2)(1-s/a)(1-s/a)
aが増加するとき1-a^2は減少、1-s/aは増加なので
(1-a^2)=(1-s/a)=(1-s/a)のときに最大である可能性が考えられる。
(1-a^2)=(1-s/a)とするとa=s^(1/3)なので式を簡単にするためにs=u^3とおき、
0≦u^3≦a≦1のときに(1-a^2)(1-u^3/a)^2≦(1-u^2)^3であることが示せれば
(1-a^2)(1-u^3/a)^2はa=uのときに最大値(1-u^2)^3をとることがわかる。
(右辺)-(左辺)=(1-u^2)^3-(1-a^2)(1-u^3/a)^2
={(a-u^3)(a+u)+au(1-u^2)}(a-u)^2/a^2≧0なので
確かに(1-a^2)(1-u^3/a)^2はa=uのときに最大値(1-u^2)^3をとる。
従ってtはa=s^(1/3)のとき最大値{1-s^(2/3)}^(3/2)をとる。
t={1-s^(2/3)}^(3/2)のs,tをx,yに置き換えて整理するとx^(2/3)+y^(2/3)=1なので、
線分ABの通過範囲はx^(2/3)+y^(2/3)=1とx軸とy軸で囲まれた部分。
No.57045 - 2019/03/06(Wed) 04:31:35
☆ Re: / 元中３
ご回答ありがとうございます。
数3はまだ習っていないので理解に及びません。春期休暇中に理解できるようつとめます。
No.57058 - 2019/03/06(Wed) 16:49:40