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記事No.57262に関するスレッドです
★ (No Subject) / 独学は辛いよ
2000^2000を12で割った余りは？
答えは4になるようですが、
解説をお願いします。
No.57229 - 2019/03/20(Wed) 19:55:00
☆ Re: / X
以下、合同式はmod12を省略しているものとします。

2000≡8
∴2000^2000≡8^2000 (A)
ここで
2000=5^3×2^4
で
8^2=64≡4
4^2=16≡4
4^5=1024≡4
∴8^2000=(8^2)^(2^3×5^3)
≡4^(2^3×5^3)={4^(2^3)}^(5^3)
≡4^(5^3)
≡4 (B)
(A)(B)より
2000^2000≡4
No.57232 - 2019/03/20(Wed) 20:26:15
☆ Re: / らすかる
別解
2000は3で割り切れない
3で割り切れない数の偶数乗を3で割った余りは1
2000は4の倍数なので当然2000^2000も4の倍数
従って2000^2000を12で割った余りは
3で割った余りが1かつ4の倍数なので、4。
No.57233 - 2019/03/20(Wed) 21:00:59
☆ Re: / ＩＴ
（別解）
求める余りをr とおくと　0≦r＜12　…(ア)

2000≡8(mod12)なので 8^2000＝12n+r, (nは整数)とおける。
r=8^2000-12n,よって　r=4s,(sは整数)とおける。（ア）から　0≦s＜3…（イ）
4s=8^2000-12n
s=2*8^1999-3n
s≡2*8^1999-3n(mod3)　
8≡-1(mod3)なので　s≡2*(-1)≡1(mod3)
(イ）より s=1 よって r=4
No.57234 - 2019/03/20(Wed) 21:07:35
☆ Re: / 独学は辛いよ
丁寧に別解までありがとうございます。
解説の二行目に
8^2000=4^3000(mod12)とありますが
これはどのように式変形されたと
考えられるのでしょうか？
詳しく解説をお願いしたいです。
No.57261 - 2019/03/21(Thu) 12:08:33
☆ Re: / 独学は辛いよ
解説の添付図です。
No.57262 - 2019/03/21(Thu) 12:09:31
☆ Re: / ＩＴ
8^2000=(2^3)^2000=2^6000
4^3000=(2^2)^3000=2^6000
です。
No.57264 - 2019/03/21(Thu) 13:56:05
☆ Re: / 独学は辛いよ
ありがとうございます
No.57282 - 2019/03/21(Thu) 19:40:04