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記事No.57287に関するスレッドです
★ 数A 整数の性質 / ボルト
688番の合同式の証明の仕方が分かりません。詳しい解説よろしくお願いします。
No.57287 - 2019/03/22(Fri) 17:38:11
☆ Re: 数A 整数の性質 / X
以下の合同式において、mod8が省略されている
ものとします。

3^(4n)=81^n≡1^n=1
∴3^(4n+3)=(3^3)・3^(4n)≡3^3=27
となるので
3^(4n+3)≡3 (A)
一方
5^(2n)=25^n≡1^n=1
∴5^(2n+1)=5・5(2n)≡5 (B)
(A)(B)より
3^(4n+3)+5^(2n+1)≡3+5=8≡0
∴問題の命題は成立します。
No.57288 - 2019/03/22(Fri) 18:17:16
☆ Re: 数A 整数の性質 / ＩＴ
使っているのは Xさんと同じ3^2≡1(mod8) です。
途中変形手順を変えています。

≡は(mod8)

3^(4n+3)+5^(2n+1)
≡3^(4n+3)+(-3)^(2n+1)
≡3^(2(2n+1)+1)+(-3)^(2n+1)
≡{(3^2)^(2n+1)}3+((-3)^2)^n}(-3)
≡3-3 (∵3^2≡(-3)^2≡1)
≡0
No.57291 - 2019/03/22(Fri) 20:26:09
☆ Re: 数A 整数の性質 / ボルト
Xさん、詳しい解説をありがとうございました。ITさんは別解をありがとうございました。お二人のおかげでよく理解できました。本当にありがとうございました。これからもよろしくお願いします。
No.57297 - 2019/03/22(Fri) 23:13:10