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記事No.57335に関するスレッドです
★ 整数 不定方程式 / ゆうと
⑶を⑵を利用せずに解いて欲しいです。
⑵は＝Nと置いて普通に不定方程式を解いて最後に自分で設定した文字kが必ず存在する条件(取りうる値の範囲が1より大きい)としていました。同じように解けますか。
No.57335 - 2019/03/26(Tue) 14:25:05
☆ Re: 整数 不定方程式 / らすかる
(3)
y=0のとき3x+7y=0,3,6,9,12,15,18,…
y=1のとき3x+7y=7,10,13,16,19,22,…
y=2のとき3x+7y=14,17,20,23,26,…
y≧3のときに表せる数は上記に含まれるので、
上記から3x+7yと表せない最大の整数は11

二つ目の質問は、(2)の解答を書いて頂ければ
多分同じように解けると思います。
No.57337 - 2019/03/26(Tue) 17:49:17
☆ Re: 整数 不定方程式 / ＩＴ
xを2減らしてｙを1増やすと　3x+7yは1増える。
xを4減らしてｙを2増やすと　3x+7yは2増える。
xを1増やすと3x+7yは3増える。
したがって
　3×4+7×0=12,3×2+7×1=13,3×0+7×2=14
　3×5+7×0=15,.....

よって12以上の整数はすべて表せる。

少し形式的に書くと
kが12以上の整数のとき
kを3で割った商をa,余りをb とすると　a≧4、0≦b≦2
　b＝0のときは、k=3a
　b＝1のときは、k=3a+1=3(a-2)+7
　b＝2のときは、k=3a+2=3(a-4)+7×2 なので　
　ｋは3x+7y(x,yは0以上の整数)で表せる。

11＝3x+7y(x,yは0以上の整数)ならば y=0 or 1 だが　いずれも適当なxが存在しない。
したがって求める整数は11
No.57342 - 2019/03/26(Tue) 19:39:17
☆ Re: 整数 不定方程式 / ＩＴ
>同じように解けますか。
こういうことでしょうか？

整数Nについて不定方程式3x+7y=Nを考える。
x=-2N+7k,y=N-3k(kは整数)が一般解

N≧12のとき
　N=3a+r,aは４以上の整数,r=0,1,2とおける
　k=aとおくと　x=-2(3a+r)+7a=a-2r≧0、y=(3a+r)-3a=r≧0

N＝11のとき　x=-22+7k,y=11-3k
　ｘ≧0のとき　k≧4　よって y≦11-12=-1
No.57349 - 2019/03/26(Tue) 21:02:23