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記事No.57371に関するスレッドです
★ わからない問題をまとめました / 高3
この4つが全くわかりません。
解答解説をお願いしたいです
No.57371 - 2019/03/29(Fri) 12:24:24
☆ Re: わからない問題をまとめました / X
大問1問目)
|2cosA+sinA|≦1 (A)
0°≦A≦180° (B)
とします。
(A)より
|2cosA+sinA|^2≦1
左辺を展開し、整理をすると
(cosA)^2+4sinAcosA≦0
(4cosA+sinA)cosA≦0 (A)'
(i)0°≦A＜90°のとき
(A)'より
tanA≦-4
∴不適
(ii)A=90°のとき
(A)'は成立します。
(iii)90°＜A≦180°のとき
(A)'より
tanA≦-4

以上から(A)の解は
90°≦A≦α (A)"
(但しαは
tanα=-4(90°＜α＜120°) (B)
なる角)
(B)より
cosα=-1/√17 (C)
sinα=4/√17 (D)
となることに注意します。

(1)
(A)"(B)により
sinα≦sinA≦sin90°
∴4/√17≦sinA≦1
(2)
三角関数の合成により
sinA+cosA=(√2)sin(A+45°)
ここで(A)"(B)より
135°≦A+45°≦α+45°
135°＜α+45°＜165°
よって
(√2)sin(α+45°)≦sinA+cosA≦(√2)sin135°
これより
(√2)(sinαcos45°+cosαsin45°)≦sinA+cosA≦1
(C)(D)を代入して
3/√17≦sinA+cosA≦1
No.57375 - 2019/03/29(Fri) 18:50:29
☆ Re: わからない問題をまとめました / X
大問4問目)
区分求積法と
lim[x→0](sinx)/x=1
を使います。

条件から
F(x)=lim[n→∞]Σ[i=1〜n]|2cos(ix/n)sin{x/(2n)}| (∵)和積の公式
=lim[n→∞]|x|・|{sin{x/(2n)}}/{x/(2n)}|・(1/n)Σ[i=1〜n]|cos(ix/n)|
=|x|∫[0→1]|cos(xt)|dt
=x∫[0→1]|cos(xt)|dt (∵)x＞0
ここでxt=uと置くと
F(x)=∫[0→x]|cosu|du
∴
F'(x)=|cosx|
F(2π)=∫[0→2π]|cosu|du
=4∫[0→π/2]cosudu (∵)y=|cosx|(0≦x≦2π)のグラフの対称性による
=4
No.57376 - 2019/03/29(Fri) 19:18:29
☆ Re: わからない問題をまとめました / X
大問2問目)
Cの方程式から
y'=3x^2-6x+a
∴C上の点(t,t^3-3t^2+at+b)における接線の方程式は
y=(3t^2-6t+a)(x-t)+t^3-3t^2+at+b
∴これとCとの交点のx座標について
x^3-3x^2+ax+b=(3t^2-6t+a)(x-t)+t^3-3t^2+at+b
これより
x^3-3x^2+ax+b=(3t^2-6t+a)(x-t)+t^3-3t^2+at+b
(x-t){(x^2+xt+t^2)-3(x+t)+a-(3t^2-6t+a)}=0
(x-t){x^2+(t-3)x-t(2t-3)}=0
{x+(2t-3)}(x-t)^2=0
∴x=-2t+3,t
よって条件のとき
q=-2p+3 (A)
r=-2q+3 (B)
(A)(B)よりqを消去して
r=-2(-2p+3)+3
=4p-3
No.57381 - 2019/03/29(Fri) 20:26:27