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記事No.57509に関するスレッドです
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無限級数の極限
/ なお
引用
画像の問題の2番(問題2-2)の解き方を教えて下さい。よろしくお願いします
No.57509 - 2019/04/08(Mon) 08:25:45
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Re: 無限級数の極限
/ らすかる
引用
r=1のとき(与式)=Σ[k=1〜∞]kなので発散
r≠1のとき
(与式)=Σ[k=1〜∞](1/r)+(1/r)^2+(1/r)^3+…+(1/r)^k
=Σ[k=1〜∞]{(1/r)^k-1}/(1-r)
={1/(1-r)}Σ[k=1〜∞](1/r)^k-1
r＜1のとき1/r＞1なのでk→∞のとき(1/r)^k→∞となり発散
r＞1のとき1/r＜1なのでk→∞のとき(1/r)^k→0
よってk→∞のとき(1-r)^k-1→-1となり発散
従って任意のrに対して発散
No.57511 - 2019/04/08(Mon) 09:34:41
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Re: 無限級数の極限
/ なお
引用
アドバイスありがとうございます。
rの値で場合分けをして考えるのですね。
アドバイスいただいた解法と教科書などを参考に自分なりに考えてみたのですが、
与式の第ｋ部分和は、S[k]=(1/r)+{(1+r)/(r^2)}+{(1+r+r^2)/(r^3)}+...+[{1+r+r^2+...+r^(k-1)}/(r^k)]となるので、r=1のとき、r≠1のとき(0<r<1、r>1)で場合分けをしてそれぞれ極限（k→∞）を求め、与式の収束、発散を調べる
この解法はどうでしょうか？
ただ、rの値に応じた与式の第ｋ部分和 S[k]=(1/r)+{(1+r)/(r^2)}+{(1+r+r^2)/(r^3)}+...+[{1+r+r^2+...+r^(k-1)}/(r^k)]の計算が上手く出来ません。
再度の質問になってしまいますが、よろしくお願いします。
No.57528 - 2019/04/09(Tue) 14:18:10
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Re: 無限級数の極限
/ らすかる
引用
> この解法はどうでしょうか？
私が説明で済ませている個所を具体的に計算するということですから、
問題ありません。
> ただ、rの値に応じた与式の第ｋ部分和 S[k]=(1/r)+{(1+r)/(r^2)}+
> {(1+r+r^2)/(r^3)}+...+[{1+r+r^2+...+r^(k-1)}/(r^k)]の計算が上手く出来ません。
私が書いた式の∞をnにすればS[n]になります。
（kは重複して不都合です。）
ですから
r=1のときS[n]=Σ[k=1〜n]k=n(n+1)/2
r≠1のとき
S[n]={1/(1-r)}Σ[k=1〜n](1/r)^k-1
={1/(1-r)}{(1/r){1-(1/r)^n}/(1-1/r)-n}
={1/(1-r)}{{1-(1/r)^n}/(r-1)-n}
となります。
No.57535 - 2019/04/09(Tue) 19:08:37
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Re: 無限級数の極限
/ なお
引用
与式の第ｎ部分和 S[n]=(1/r)+{(1+r)/(r^2)}+{(1+r+r^2)/(r^3)}+...+[{1+r+r^2+...+r^(n-1)}/(r^n)]より、
(i)r=1のとき
S(n)=(1/1)+{(1+1)/1}+{(1+1+1)/1}+...+[{1+1+1+...+1(n-1)}/(1^n)]
=1+2+3+...+[{1+1+1+...+1(n-1)}/(1^n)]
=(1/2)*n(n+1)
∴ lim(n→∞)S(n)
=lim(n→∞)(1/2)*n(n+1)
=＋∞
よって、r=1のとき、与式は正の無限大に発散する。
↑これで合ってますか？
(ii)r≠1のとき
S(n)=(1/r)+{(1+r)/(r^2)}+{(1+r+r^2)/(r^3)}+...+[{1+r+r^2+...+r^(n-1)}/(r^n)]
=(1/r)+{(1/r)+(1/r^2)}+{(1/r)+(1/r^2)+(1/r^3)}+...+{(1/r)+(1/r^2)+(1/r^3)+...+(1/r^n)}
0<r<1、r>1で場合分け。←これ以降が分かりません。
r≠1のとき
S[n]={1/(1-r)}Σ[k=1〜n](1/r)^k-1
={1/(1-r)}{(1/r){1-(1/r)^n}/(1-1/r)-n}
={1/(1-r)}{{1-(1/r)^n}/(r-1)-n}
↑何故このような計算になるか分かりません。
よろしくお願いします。
No.57562 - 2019/04/11(Thu) 07:22:41
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Re: 無限級数の極限
/ らすかる
引用
> ↑これで合ってますか？
合ってます。
ただし、解答に書くならば
S(n)=(1/1)+{(1+1)/1}+{(1+1+1)/1}+...+[{1+1+1+...+1(n-1)}/(1^n)]
=1+2+3+...+[{1+1+1+...+1(n-1)}/(1^n)]
=(1/2)*n(n+1)
は
S(n)=(1/1)+{(1+1)/1}+{(1+1+1)/1}+...+[{1+1+1+...+1(n-1)}/(1^n)]
=1+2+3+...+n
=(1/2)*n(n+1)
と書いた方がいいです。
（先頭3項だけ計算して最終項を計算しないのは不自然です。）
> ↑何故このような計算になるか分かりません。
{1+r+r^2+…+r^(k-1)}/r^k
=1/r^k+1/r^(k-1)+1/r^(k-2)+…+1/r
=1/r+1/r^2+1/r^3+…+1/r^k
=(1/r)+(1/r)^2+(1/r)^3+…+(1/r)^k
=(1/r){(1/r)^k-1}/{(1/r)-1} （∵等比数列の公式による）
=(1/r)/{(1/r)-1}・{(1/r)^k-1}
=1/(1-r)・{(1/r)^k-1}
なので
S[n]=1/r+(1+r)/r^2+(1+r+r^2)/r^3+…+{1+r+r^2+…+r^(n-1)}/r^n
=Σ[k=1〜n]{1+r+r^2+…+r^(k-1)}/r^k
=Σ[k=1〜n]1/(1-r)・{(1/r)^k-1} （∵上の計算から）
={1/(1-r)}Σ[k=1〜n]{(1/r)^k-1}
={1/(1-r)}{{Σ[k=1〜n](1/r)^k}-{Σ[k=1〜n]1}}
={1/(1-r)}{(1/r){1-(1/r)^n}/{1-(1/r)}-n} （∵1つ目のΣは等比数列の公式による）
={1/(1-r)}{{1-(1/r)^n}/(r-1)-n}
となります。
No.57574 - 2019/04/11(Thu) 21:27:26
