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記事No.57531に関するスレッドです
★ (No Subject) / 数学
この問題の解説(2枚目の画像)の「四面体BPQRの対称性より、４点O、B、P、Eが同一平面上にある」と書いてありますが、「対称性だから、点が同一平面平面上にある」というのが、自分なりに因果関係をうまく説明できません。詳しくその意味を教えてください。
No.57530 - 2019/04/09(Tue) 17:19:04
☆ Re: / 数学
言い忘れましたが。(2)の問題の解説です。
No.57531 - 2019/04/09(Tue) 17:19:50
☆ Re: / 数学
これが解答の続きです。一応置いておきます。
No.57532 - 2019/04/09(Tue) 17:21:11
☆ Re: / X
点B,P,Eを含む平面をαとすると
四面体BPQRはαに関し対称
であることはよろしいでしょうか？

従って四面体BPQRの外接球である
Sもαに関し対称となりますので
Sの中心であるOはα上にあります。
No.57533 - 2019/04/09(Tue) 18:28:19
☆ Re: / 数学
理解力なくてすみません。少しずつ教えてください。

>四面体BPQRはαに関し対称であることはよろしいですか？

ぱっと見、感覚で対称なんだろうなということがわかります。でもその根拠がわかりません。

>四面体BPQRの外接球である
Sもαに関し対称となりますので

αが外接球に関して対称だから、Sに関しても対称になる理由がわかりません。

>Sの中心であるOはα上にあります

なぜαが球に関しても対称だから、点Oがα上にあるかわかりません。
No.57536 - 2019/04/09(Tue) 19:24:05
☆ Re: / 数学
上の記述にミスがあったので、再度修正して投稿します。

理解力なくてすみません。少しずつ教えてください。

>四面体BPQRはαに関し対称であることはよろしいですか？

ぱっと見、感覚で対称なんだろうなということがわかります。でもその根拠がわかりません。

>四面体BPQRの外接球である
Sもαに関し対称となりますので

これも感覚でわかるんですが、αが四面体BPQRに関して対称だから、外接球Sに関しても対称になる理由がわかりません。

>Sの中心であるOはα上にあります

なぜαが外接球に関して対称だから、点Oがα上にあるかわかりません。
No.57537 - 2019/04/09(Tue) 19:26:12
☆ Re: / 黄桃
真面目に証明するなら次のような感じです。
ABMを通る平面αを考えます。
すでに証明しているように AB⊥QR です（結局この事実を「対称性」と呼んでいると思います）。
AM⊥QRだから、結局平面αはQRと直交します。つまり、αはQRの垂直二等分面です。
Q,Rから等距離にある点は、必ずこの垂直二等分面上にありますので、Oはα上にあります。
B,P, Eはα上にあります。
よって4点BPOEは平面αの上にあります。
No.57563 - 2019/04/11(Thu) 08:56:41
☆ Re: / 数学
よく分かりました。

垂直二等分面のことをいろいろ調べました。
知らなかったので覚えておきます。

ありがとうございました。
No.57566 - 2019/04/11(Thu) 14:25:43