[ 掲示板に戻る ]
記事No.5761に関するスレッドです
★ 数学3第5章積分法とその応用　回転体の体積 / ポン太　高校3年生
(1)
半径100の球に十分大きい平面αが接している。この平面αをこれと平行を保ちつつ球の中心に向けて100-50√30移動してできた平面をα´とする。
球と平面α´で囲まれる領域のうち、小さい方の体積を求めなさい。

(2)
座標空間において、原点を中心とする半径100の球と、三点A(0,0,100√2)、B(100,100,0)、C(-100,100,0)を頂点とする三角形ABCがある。
球と三角形ABCとで囲まれる領域のうち、原点を含まない方の体積を求めなさい。

落ちこぼれクラスの補習授業の問題なのにちんぷんかんぷんですTOT
どっちも平面から球の一部分がひょっこりハミ出てるような感じだと思うのですが、計算の仕方がさっぱりです。どうか教えてください。お願いします。
No.5760 - 2009/05/05(Tue) 19:00:20
☆ Re: 数学3第5章積分法とその応用　回転体の体積 / にょろ
中心を原点(0,0,0)とした球の一部分の体積は以下のとおりで求められます。

∫_[a,b](ｘ座標がxのときに切る円の半径)^2πdx
です。
(ｘ座標がxのときに切る円の半径)を求めるわけですが
三平方の定理を使って
(ｘ座標がxのときに切る円の半径)=√(100^2-x^2)となります。
なので求める式は

∫_[a,b]√(100^2-x^2)πdx
ここでaは50√30,bは100なので最終的な式は

∫_[50√30,100]√(100^2-x^2)πdxとなります。
(ｘ座標がxのときに切る円の半径)は画像の緑の部分の半分です。
球の切り口って円になりますよね？
そこの半径です。
No.5761 - 2009/05/05(Tue) 19:28:51
☆ Re: 数学3第5章積分法とその応用　回転体の体積 / にょろ
次はちょっと分かりづらいのですが
球が三角形で切られているのではなく
球が平面で切られていると考えて見ませんか?

で、その切り取られた図形がどんな立体化は考えたくもありませんが、求められているのが体積ならば簡単です。

画像は円を横から見た図です。
それを球と見たときの上の方を求めます。

この直線の方程式はすぐ求まりますからそこから
面積を求めて積分してやればいいことになります。
言葉では説明しづらいので次でどのような積分になるのか切り口を見ながら説明します。
No.5764 - 2009/05/05(Tue) 19:43:55
☆ Re: 数学3第5章積分法とその応用　回転体の体積 / にょろ
上で直線が逆になってしまっているのはご愛嬌ということで…

この平面で切られた球の断面はこうなります。
この青い部分です。この部分のx=kのときの面積の求め方は、

(1)x=kのとき円の方程式は
x^2+y^2=(100^2-k^2)
ということが分かっています。
(本当は文字が違いますが面積もとめる限りでは問題にならないのでこのまま)
（円の半径を求めた時点でもとまっています）
そして切り口のy座標は
y=-(√2)x+100√2のx=kなので
y=-(√2)k+100√2になります。
(この直線の方程式はすぐ求まりますの直線の方程式です。)
これをx^2+y^2=(100^2-k^2)に代入してxを求めれば積分すべき値が出ます。（kの方程式です。）
それをk=100からk=a(aは上のグラフで(100,0)でないほうの交点のx座標)まで積分すればOKです。

もっといい方法があるかもしれませんが僕は思いつきません。
平面を回転させて積分を簡単にする方法もあるにはありますが…
No.5766 - 2009/05/05(Tue) 20:22:43
☆ Re: 数学3第5章積分法とその応用　回転体の体積 / ポン太　高校3年生
にょろさんへ。
詳しい説明をありがとうございました。納得できたと思います。

もう一つお聞きしたいのですが、学校では求める図形は回転体だのどうのといってました(ノートとってないんで細かいことはさっぱりです)。
でもどこがどう回転体なのか分からないです。回転体でとくにはどうやればいいんでしょうか。
No.5773 - 2009/05/06(Wed) 10:49:32
☆ Re: 数学3第5章積分法とその応用　回転体の体積 / にょろ
回転体というのは
ある軸に対してある図形を回転させたものです。

例えば正方形の紙を一辺を中心として回転させてください。
するとその通った部分は円柱になるでしょう?
それが回転体です。

回転体には公式があって
軸に図形がかからない限り

V=π∫_[a,b](f(x))^2dx
です。

公式っていっても単に円の面積積分しただけなんですけどね^^;

こんな感じの図形です。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math3/rot2.htm
No.5791 - 2009/05/07(Thu) 18:53:50
☆ Re: 数学3第5章積分法とその応用　回転体の体積 / ポン太　高校3年生
にょろさまへ。

遅くなってしまってすみませんでした。
や〜っと解決しました。ありがとうございました。

球を中心を通る平面できったときにできる円のうち、平面からはみ出る部分のみを回転させればいいという情景がぼんやりと想像できて来ました。
No.5838 - 2009/05/14(Thu) 05:15:33