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記事No.57671に関するスレッドです
★ 動点の最短経路 / PON
画像にある問題の解き方を教えて下さい。全く方針が立てられず悩んでいます。よろしくお願いします。
No.57666 - 2019/04/15(Mon) 13:11:20
☆ Re: 動点の最短経路 / 関数電卓
> 全く方針が立てられず…
予備知識ゼロでこの問題を解決できる方は多くはありません。私とて、知っているからできるのです。

(光の) 屈折の法則 そのものです。

x 軸上に点 C(a,0) (0＜a＜c) をとり、点 C で x 軸に立てた法線を n とします。
また、線分 AC と n がなす鋭角をθ、線分 BC と n がなす鋭角をφとします。このとき
　屈折の法則　sinθ/c1＝sinφ/c2
を満たすθ,φを与える C(a,0) が必ず１つ存在します。
求める経路は、折れ線 ACB です。
（図は後ほど描きます）
No.57667 - 2019/04/15(Mon) 13:34:53
☆ Re: 動点の最短経路 / 関数電卓
上記がなぜ最短時間を与える経路か。

点 C を x 軸上を動く点 C(x,0) とします。このとき、
　AC＝√(x^2＋b^2), BC＝√((c−x)^2＋d^2)
で、動点 P が AC, BC 上を動くのに要する時間 t1, t2 は
　t1＝√(x^2＋b^2)/c1, t2＝√((c−x)^2＋d^2)/c2 …(*)

T＝t1＋t2 を最小にする x は、dT/dx＝0 を満たす (必要条件)。よって(*)より

　dT/dx＝x/√(x^2＋b^2)−(c−x)/√((c−x)^2＋d^2)＝0
∴ sinθ/c1＝sinφ/c2

尚、下図は c1＞c2 の場合です。

こちら フェルマーの原理 もぜひご覧ください。
No.57671 - 2019/04/15(Mon) 19:04:21