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記事No.57838に関するスレッドです
★ 累次積分　極座標への変数変換　無限級数の和 / NIKI
画像にある問題の（３）について教えて下さい。

（１）と（２）については計算できましたが（次のレスに計算過程を記した画像を載せます。もし間違いなどありましたら、ご指摘願います）、（３）はどう解けばよいか分からないでいます。
また、問題文にある、0<a<1という条件をどう考慮して計算すればよいかも分かりません。

解答と共に、その計算過程や考え方なども詳しく解説していただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。
No.57837 - 2019/04/25(Thu) 01:41:31
☆ Re: 累次積分　極座標への変数変換　無限級数の和 / NIKI
（１）の計算過程です。
No.57838 - 2019/04/25(Thu) 01:52:51
☆ Re: 累次積分　極座標への変数変換　無限級数の和 / NIKI
（２）の計算過程です。
No.57839 - 2019/04/25(Thu) 01:53:26
☆ Re: 累次積分　極座標への変数変換　無限級数の和 / X
(1)
計算自体に問題はありませんが
下から7行目の被積分関数全体
に括弧を付けましょう。

(2)
cosθ=t
と置く置換積分の計算で積分範囲の
変換をしていません。

(3)
S[n]=Σ[p=1〜n]K[p](a)
と置くと
S[n]=Σ[p=1〜n]∬[D](x^p)ydxdy
=∬[D]{Σ[p=1〜n](x^p)y}dxdy
=∬[D]{x(1-x^n)/(1-x)}ydxdy (A)
ここでDにおいて
0≦x≦a＜1
であることから(A)より
∬[D]{x(1-a^n)/(1-x)}ydxdy≦S[n]≦∬[D]{x/(1-x)}ydxdy
これより
(1-a^n)∬[D]{x/(1-x)}ydxdy≦S[n]≦∬[D]{x/(1-x)}ydxdy
∴はさみうちの原理により
(与式)=lim[n→∞]S[n]=∬[D]{x/(1-x)}ydxdy
後はこの二重積分を計算します。
No.57840 - 2019/04/25(Thu) 06:08:39