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記事No.57901に関するスレッドです
★ (No Subject) / GW中 失礼します
画像の直角に折れた廊下を、長さlの棒を水平に持って曲がり切りたい。これが可能なlの最大値を求めよ。
No.57901 - 2019/04/28(Sun) 18:20:23
☆ Re: / GW中 失礼します
まったく太刀打ちできません。
方針を教えていただきたいです。
No.57902 - 2019/04/28(Sun) 18:21:21
☆ Re: / GW中 失礼します
ちなみに答えは (a^2/3+b^2/3)^3/2です
No.57903 - 2019/04/28(Sun) 18:22:44
☆ Re: / らすかる
lの両端が外側の壁の下側と左側にあり、
lが内側の壁の角を通るときの最小値が求める値ですね。
外側の壁の角を原点とするxy平面と考えると、内側の角は(a,b)
(a,b)を通り傾きm（m＜0）の直線はy=m(x-a)+bであり
この直線とx軸(外側の壁の下側)との交点は(a-b/m,0)
y軸(外側の壁の左側)との交点は(0,b-am)なので
傾きmのときに第一象限におさまる長さは
√{(a-b/m)^2+(b-am)^2}です。
「長さが最小」⇔「長さの2乗が最小」なので
(a-b/m)^2+(b-am)^2の最小値を調べて
後で平方根をとれば十分です。
f(m)=a^2m^2-2abm+a^2+b^2-2ab/m+b^2/m^2とすると
f'(m)=2a^2m-2ab+2ab/m^2-2b^2/m^3
f'(m)=0を解くと
2a^2m-2ab+2ab/m^2-2b^2/m^3=0
a^2m^4-abm^3+abm-b^2=0
(am^3+b)(am-b)=0
m＜0なのでm^3=-b/a
∴m=-(b/a)^(1/3)
このとき長さは
√{(a-b/m)^2+(b-am)^2}
=√{(a+b(a/b)^(1/3))^2+(b+a(b/a)^(1/3))^2}
=√{(a+(ab^2)^(1/3))^2+(b+(a^2b)^(1/3))^2}
=√{a^2+2a(ab^2)^(1/3)+(ab^2)^(2/3)+b^2+2b(a^2b)^(1/3)+(a^2b)^(2/3)}
=√{a^2+2a^(4/3)b^(2/3)+a^(2/3)b^(4/3)+b^2+2a^(2/3)b^(4/3)+a^(4/3)b^(2/3)}
=√{a^2+3a^(4/3)b^(2/3)+3a^(2/3)b^(4/3)+b^2}
=√{(a^(2/3))^3+3(a^(2/3))^2b^(2/3)+3a^(2/3)(b^(2/3))^2+(b^(2/3)^3}
=√{(a^(2/3)+b^(2/3))^3}
=(a^(2/3)+b^(2/3))^(3/2)
となります。

# a^2/3 は (a^2)/3と解釈されますので、
# a^(2/3)のようにカッコを付けましょう。
No.57908 - 2019/04/28(Sun) 19:02:52
☆ Re: / GW中 失礼します
ラスカルさんありがとうございます。

気になった事なのですが、この問題は”陰関数の積分”と言うところにありました。
さらにこの問題の解答はアステロイドの式に酷似しています。
そこでまた質問なのですが、これはアステロイドになにか関係しているのでしょうか？
No.57911 - 2019/04/28(Sun) 21:35:08
☆ Re: / らすかる
大いに関係があります。
一定の長さの線分の両端がx軸上とy軸上にあって移動すると、
包絡線がアステロイドになります。
よって内側の壁の角に接するアステロイドの
大きさ（原点から軸上の点までの距離）が
lの最大値とも言えますね。
No.57913 - 2019/04/28(Sun) 22:48:42
☆ Re: / GW中 失礼します
らすかるさん
いま、一度考えてみたところ
lの両端が外側の壁の下側と左側にあり、
lが内側の壁の角を通るときの最小値が求める値ですね
と言う部分がなぜそのように考えれば良いのかわからなくなってしまいました。
今一度なぜそうなるか教えていただけませんか？
No.57934 - 2019/04/30(Tue) 09:33:46
☆ Re: / らすかる
長さが自在に変わる線分lが、内側の壁の角を通り
両端が外側の壁の下側と左側にあるとすると、
lの傾き（＜0）が0に近い（-0.01など）時は横方向に長く、
傾きが小さい（-100など）時は縦方向に長くなり、
傾きがその間のある値の時に最も短くなりますね。
この最も短くなったときの角度のまま、
この長さより少しでも長いと、廊下に収まりませんので
角を曲がれません。
そしてちょうどその長さのときはギリギリ曲がれて、
これより短いときは余裕で曲がれます。
従ってこの長さが求める長さ（角を曲がれる長さの最大値）です。
No.57935 - 2019/04/30(Tue) 10:20:19
☆ Re: / GW中 失礼します
らすかるさんありがとうございます。

完璧に理解できました。
No.57936 - 2019/04/30(Tue) 10:34:09