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記事No.57955に関するスレッドです
★ 非回転体 / GW 中失礼します
こんにちは、GW中2階目の投稿失礼します。
これまた、共通部分の立体の想像すらつかず、全体像が全く見えない問題に出会ってしまいました。
方針をご教授お願いします。

[問題] 図のように底面が半径r の円である２つの円柱を垂直に交わらせた時、2つの共通部分の立体の体積を求めよ。
No.57946 - 2019/04/30(Tue) 15:35:20
☆ Re: 非回転体 / GW 中失礼します
ちなみに 解答は 16/r^3 です。
No.57947 - 2019/04/30(Tue) 15:37:46
☆ Re: 非回転体 / GW 中失礼します
失礼しました 正しい解答は 16r^3/3 です
No.57948 - 2019/04/30(Tue) 15:38:45
☆ Re: 非回転体 / 匿名希望
全体の図形を(1/r)倍して考える。
このとき体積は(1/r^3)倍となっている。
x,y,z座標系を適切に取れば、共通部分を表す方程式は
　x^2+z^2≦1 かつ y^2+z^2≦1
となる。
これは
　-1≦z≦1 かつ -√(1-z^2)≦x≦√(1-z^2) かつ -√(1-z^2)≦y≦√(1-z^2)
と同値である。
共通部分をxy平面と平行な平面z=p（ただし-1≦p≦1）で切った切り口は
一辺の長さ 2√(1-p^2) の正方形であり、その面積は4-4p^2である。
よって共通部分の体積は
∫[-1,1]{4-4p^2}dp
=2∫[0,1]{4p-(4/3)p^3}'dp
=2{4-(4/3)}
=16/3
これをr^3倍すれば元の共通部分の体積となる。

（答）(16/3)r^3
No.57950 - 2019/04/30(Tue) 15:59:08
☆ Re: 非回転体 / ＩＴ
「円柱直交」で画像検索するといくつか画像が出てきます。
下手な図ですが描きましたので参考までに載せます。
No.57955 - 2019/05/01(Wed) 00:00:07