14.3の問題を教えて頂けないでしょうか。
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No.57956 - 2019/05/01(Wed) 01:33:19
| ☆ Re: 集合の図示 / X | | | ↑x=λ[1]↑v[1]+λ[2]↑v[2]+λ[3]↑v[3] (A)
とします。
(i)
λ[1]+λ[2]+λ[3]=1
より
λ[3]=1-λ[1]-λ[2] (B)
これを(A)に代入すると
↑x=λ[1](↑v[1]-↑v[3])+λ[2](↑v[2]-↑v[3])+↑v[3] (A)'
一方、(B)を
0≦λ[3]≦1/2
に代入すると
1/2≦λ[1]+λ[2]≦1 (B)'
…とここまでくれば、高校数学のベクトルの
類題からWは
A(↑v[1]),B(↑v[2]),C(↑v[3])
なる点A,B,Cについて線分BC,CAの中点を
M,Nとしたときの
台形AMNBの周囲及び内部 (P)
(∵(A)'から点Cをベクトルの基準として考えてみましょう。)
…としたいところですが、問題はWの条件として
0≦λ[1]≦1/2
0≦λ[2]≦1/2
が付いている点です。
(これらが
0≦λ[1]≦1
0≦λ[2]≦1
となっていれば、解答は(P)で問題ないのですが。)
そこで次のように考えます。
(i)の(A)'に対応する領域をW[3]とし
このときのλ[1]λ[2]λ[3]に対する条件を
0≦λ[1]≦1
0≦λ[2]≦1
0≦λ[3]≦1/2
とします。
同様に
(ii)
0≦λ[1]≦1
0≦λ[2]≦1/2
0≦λ[3]≦1
のときの領域W[2]
(このときは(A)からλ[2]を消去して(i)と同様に考えます。)
(iii)
0≦λ[1]≦1/2
0≦λ[2]≦1
0≦λ[3]≦1
のときの領域W[1]
(このときは(A)からλ[3]を消去して(i)と同様に考えます。)
を考え、W[1],W[2],W[3]の共通部分としてWを求めます。
以上のように考えると、Wが示す領域は
A(↑v[1]),B(↑v[2]),C(↑v[3])
なる点A,B,Cについて線分AB,BC,CAの中点を
L,M,Nとしたときの
△LMNの周囲及び内部
となるのが分かります。
但し、上記までに書いたのは飽くまで概略ですので
行間の詳細はご自分で詰めてみて下さい。
(添付写真の模範解答ではなぜか領域を示す三角形の頂点が
↑v[1],↑v[2],↑v[3]
に対応する点を結ぶ線分の中点にしないように適当に
取ってありますが。)
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No.57965 - 2019/05/01(Wed) 10:07:12 |
| ☆ Re: 集合の図示 / 黄桃 | | | 答がわかっているんだったら逆算した方が速いでしょう。
x,y,z をベクトルとし、a,b,c を実数とします。
基本事項として
「{ax+by+cz| 0≦a,b,c≦1, a+b+c=1}
はx,y,z を頂点とする三角形の周と内部を表す」
は抑えておきます。
＃章末の演習問題らしいですし、見るからにこの事実が使えそうだろう的な書き方なので、
＃このような命題がどこかにあるのではないでしょうか。
面倒なのでw[1],w[2],w[3]をx,y,zと書くことにすると、
答は
(*) {a(x/2+y/2)+b(y/2+z/2)+c(z/2+x/2) |0<=a,b,c<=1, a+b+c=1}
という形をしているので、元の形
(**) {px+qy+rz| 0<=p,q,r<=1/2, p+q+r=1}
と比べると、容易に
a=1-2r, b=1-2p, c=1-2q
となることがわかりますから、あとはこれが求める形になっていることを示せばいいわけです。
＃答としては、(*)=(**)を示す、として、以下だけ書けばOKです。
実際
0<=p,q,r<=1/2, p+q+r=1 を満たす任意のp,q,r について、
a=1-2r, b=1-2p, c=1-2q
とおけば、0<=a,b,c<=1, a+b+c=1 を満たします。
逆に、0<=a,b,c<=1, a+b+c=1をみたす任意のa,b,c について、
p=(a+c)/2, q=(a+b)/2, r=(b+c)/2
とおけば、これらp,q,r は0<=p,q,r<=1/2, p+q+r=1を満たします。
したがって、(*)と(**)は同じものであり、求める結果を得ます。
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No.57973 - 2019/05/01(Wed) 15:35:03 |
| ☆ Re: 集合の図示 / ＩＴ | | | 黄桃さんが 詳しく書いておられますが せっかくなので書き込みます。
表記を簡単にするため x=sa+tb+uc, s+t+u=1, 0≦s,t,u≦1/2 とします。
p=(1/2)(b+c), q=(1/2)(c+a), r=(1/2)(a+b) とおくと
x=(1-2s)p+(1-2t)q+(1-2u)r
ここで s+t+u=1, 0≦s,t,u≦1/2 より,
(1-2s)+(1-2t)+(1-2u)=1, 0≦1-2s,1-2t,1-2u≦1.
注）a,b,c,p,q,r はベクトルで s,t,u はスカラー（この場合実数）です。黄桃さんとは記号がちがいますのでご注意ください。
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No.57974 - 2019/05/01(Wed) 15:53:36 |
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