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記事No.58014に関するスレッドです
★ (No Subject) / 難しい
(1) は微分法で示しましたが、
(2) について、 (1) をどのように利用するかもわからず困っています。
さらに悪いことに答えもありません。

どなたか解説をご教授願います。
No.58014 - 2019/05/04(Sat) 16:43:37
☆ Re: / 難しい
すいません。方針は立ちました。

しかし、1+x+x^2/2+x^3/3 = kx+1
を求めると、x=0 , {-3+_(-39+48k)^1/2}/4
となりたぶん交点はx>0 となると思うのですが、それを示せません。
また、これを飛ばすと、0分の なんとかになってしまってうまく挟めません。
ちなみに1+x+x^2/2 = kx+1 のこうてんは(k-1)/2 とでました。
No.58017 - 2019/05/04(Sat) 17:02:52
☆ Re: / 難しい
度々すいません。
質問したいことを訂正させていただきます。
自分の方針
1+x+x^2/2+x^3/3 = kx+1の交点と
1+x+x^2/2 = kx+1の交点の間にα はある。

質問1 1+x+x^2/2+x^3/3 = kx+1 の交点がx>0 のみとどのように示すのか。

質問2
{-3+_(-39+48k)^1/2}/4(k-1) →[k→1+0] = 8
k-1/2(k-1) →[k→1+0] = 1/2
となり上手くは挟めません。
これは方針が間違っているのか
No.58018 - 2019/05/04(Sat) 17:16:35
☆ Re: / らすかる
1+x+x^2/2＜e^x＜1+x+x^2/2+x^3/3は1≦x＜3/2でも成り立つ（要証明）。
αはe^x=kx+1の解であり
1＜x＜3/2で1+x+x^2/2＜e^x＜1+x+x^2/2+x^3/3だから
kが1に近いとき1+α+α^2/2＜kα+1＜1+α+α^2/2+α^3/3
これを解くと {√(48k-39)-3}/4＜α＜2k-2なので
lim[k→1+0]{√(48k-39)-3}/{4(k-1)}≦lim[k→1+0]α/(k-1)≦lim[k→1+0](2k-2)/(k-1)
∴lim[k→1+0]α/(k-1)=2
No.58019 - 2019/05/04(Sat) 17:21:10
☆ Re: / ＩＴ
k-1=(e^α-1-α)/α　を代入して (1)の不等式を使えば出来るのでは。
No.58022 - 2019/05/04(Sat) 17:36:31
☆ Re: / 難しい
ラスカルさん解答ありがとうございます😊
すいませんが、まだ疑問点があります。

> kが1に近いとき1+α+α^2/2＜kα+1＜1+α+α^2/2+α^3/3
> これを解くと {√(48k-39)-3}/4＜α＜2k-2なので
ここの変形はどうやるのですか？
『{-√(48k-39)-3}/4>α またはα >√(48k-39)+3}/4 』 かつ
『 α <2k-2 』
を解くと、『√(48k-39)-3}/4＜α＜2k-2 』 または
『{-√(48k-39)-3}/4>α 』 となってしまいます
No.58023 - 2019/05/04(Sat) 17:49:00
☆ Re: / 難しい
IT さん ありがとうございます。

その場合 交点のx座標について考えなくて良いのでしょうか？
(1) では 1+x+x^2/2＜e^x＜1+x+x^2/2+x^3/3
の式が成り立つ範囲を区間(0、1) でしか示しておらず、
交点のx座標がどこにあるかわからず、(1)式を使えません
No.58025 - 2019/05/04(Sat) 18:02:06
☆ Re: / 難しい
ラスカルさん
もう1つ質問です。
なぜ 1+x+x^2/2＜e^x＜1+x+x^2/2+x^3/3 の成り立つ範囲を
範囲(0、3/2) としたのですか？
No.58026 - 2019/05/04(Sat) 18:03:48
☆ Re: / 難しい
IT さん
その方法だと、α ^2/ (α ^3/3 + α ^2/2)< α/(k-1) < α ^2/(a^2/2)
となり、 5/6 < α / (k-1 ) < 2
となってしまいます。
No.58027 - 2019/05/04(Sat) 18:08:48
☆ Re: / ＩＴ
k＞1のときα＞0。
k→1+0 のとき　α→+0
　
k-1=(e^α-1-α)/α　を代入すると
　α/(k-1)=α^2/(e^α-1-α)

(1) から α^2/2＜e^α-1-α＜α^2/2+α^3/3
よって α^2/(α^2/2+α^3/3) ＜α/(k-1)＜2
ゆえに　2/(1+2α/3) ＜α/(k-1)＜2
よってα/(k-1)→2 (k→1+0)
No.58029 - 2019/05/04(Sat) 18:28:09
☆ Re: / ＩＴ
> 交点のx座標がどこにあるかわからず、(1)式を使えません
k＞1のときα＞0。
k→1+0 のとき　α→+0　※　これを示さないといけませんね！

なので　0＜α＜１としていいと思います。
No.58030 - 2019/05/04(Sat) 18:41:29
☆ Re: / ast
質問者の立てた最初の No.58017-58018 の方針でやればいいのでは (方針自体は正しいですし, 見通しも立てやすいです). ただ, 計算間違いが多いので, おちついて全部見直してください.

[i] 1+x+x^2/2 = kx+1 の x=0 以外の解は x=2(k-1) です.
[ii-1] 1+x+x^2/2+x^3/3 = kx+1 の解は x=0 以外には正と負のふたつです (ので x>0 と示せるはずというのは誤りです).
[ii-2] x=(-3-√(48k-39))/4 は明らかに負です. x=(-3+√(48k-39))/4 は (k > 1 のとき 48k-39 > 9 なので) 正になります.
[ii-3] x=(-3+√(48k-39)) = (-3+√(48k-39))(3+√(48k-39))/4(3+√(48k-39)) = 12(k-1)/(3+√(48k-39)) → 2 (as k→+0) です.

# 1+x+x^2/2, e^x, 1+x+x^2/2+x^3/3 は x=0 のとき x+1 と接するので, 各交点が k→1+0 のときこの接点へ集まってくるのは, 十分イメージできる話だと思います.
No.58031 - 2019/05/04(Sat) 19:11:24
☆ Re: / らすかる
> 『{-√(48k-39)-3}/4>α またはα >√(48k-39)+3}/4 』 かつ
> 『 α <2k-2 』
> を解くと、『√(48k-39)-3}/4＜α＜2k-2 』 または
> 『{-√(48k-39)-3}/4>α 』 となってしまいます

条件からα＞0ですから、
『{-√(48k-39)-3}/4>α 』の方は不要です。


> なぜ 1+x+x^2/2＜e^x＜1+x+x^2/2+x^3/3 の成り立つ範囲を
> 範囲(0、3/2) としたのですか？

k→1+0がx→1+0とごっちゃになって勘違いしていました。
(0,1)で十分ですね。(0,3/2)は無視して下さい。
No.58032 - 2019/05/04(Sat) 19:30:50
☆ Re: / 難しい
> IT さん
その方法でできました！
Lim の時の α と k が どこに行くのかを混同していました。
ありがとうございます。

> ラスカルさん、 ast さん
ありがとうございます。
条件から『α >0 となる 』 とありますが、
それはどこから、得たものでしょうか？
Ast さんがいう通り、
負の解x=(-3-√(48k-39))/4 は共有点ではないのですか？
No.58034 - 2019/05/04(Sat) 20:28:16
☆ Re: / ast
> 負の解x=(-3-√(48k-39))/4
は 1+x+x^2/2+x^3/3=kx+1 の解ですが, 問題文の α は e^x=kx+1 の解なので, 無関係ですね. α > 0 はe^x-kx-1 を微分して増減表を書いてみればわかると思います.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+e%5Ex+and+2x%2B1+and+x%2B1
No.58036 - 2019/05/04(Sat) 20:57:26
☆ Re: / ＩＴ
f(x)＝e^x-(kx+1) とおくと
f'(x)＝e^x-k、x＜0で　f'(x)＜0（∵k＞1）
またf(0)＝0よってx＜0でf(x)＞0
したがって　f(α)＝0かつα≠0ならばα＞0

g(x)=(e^x-1)/x ,（x≠0)とおく。

x≠0において　 g(x)は連続で真に単調増加で x＜0で　g(x)＜1,　x＞0で　g(x)＞1
　lim[x→0]g(x)=1,lim[x→∞]g(x)＝∞である

したがってk＞１に対して、k＝g(α)となるαがただ１つ存在しα＞0である.
特に　k＜e-1 のとき　α＜1である。
(0,1)と(α,e^α)を結ぶ直線はy=((e^α)-1)/α)x+1＝g(α)x+1=kx+1 である。

このとき(α,e^α)は　y=e^xと　y=kx+1　の交点となっている。

※g(x)は真に単調増加は、証明なしで使えるほど明らかではないので、あまりよい解答ではないですね。
（らすかるさんの説明が分かり易いですね）

※なお、元の問題の（２）は、これらの事実の厳密な証明までは求めてないような気がします。
No.58037 - 2019/05/04(Sat) 21:17:44
☆ Re: / らすかる
> 条件から『α >0 となる 』 とありますが、
> それはどこから、得たものでしょうか？

y=e^x上の点(0,1)における接線の傾きが1であることはご存知ですか？
k=1のときy=kx+1はこの接線になります。
y=kx+1は(0,1)を通る直線であり、k=1のとき下に凸であるy=e^xに
接するのですから、k＞1ならば(0,1)以外の交点は
第一象限にあることになりますね。
No.58038 - 2019/05/04(Sat) 21:21:47