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記事No.58199に関するスレッドです
★ パラメタ表示された曲線、特異点 / 初学者
パラメタ表示された曲線が画像のようであるとします。
この時、φ`（ｔ０）＝０となる点を特異点といいますが、φ‘‘（ｔ０）≠０ならば、曲線φ（ｔ）がφ（ｔ０）において互いに接する（φ‘‘（ｔ０）に対して）のはなぜですか？（画像）
No.58199 - 2019/05/11(Sat) 02:53:40
☆ Re: パラメタ表示された曲線、特異点 / ＩＴ
> パラメタ表示された曲線が画像のようであるとします。
> この時、φ`（ｔ０）＝０となる点を特異点といいますが、

φの条件が明確でないので　厳密な説明は出来ませんが、
（文脈からφはC2-級でt0の近傍を含むある区間[α,β]で単射である。と思われます）

直観的に説明するなら
tがt0から減少する場合も増加する場合もΦ(t) は,Φ(t0)から Φ''(t0)の正方向に変化する。からということになると思います。
（３行目の式を読むとわかると思います）
No.58202 - 2019/05/11(Sat) 21:03:16
☆ Re: パラメタ表示された曲線、特異点 / 初学者
回答ありがとうございます
少し反応が遅れてしまいまして申し訳ございません。
φに関してはC2級のジョルダン曲線という仮定です。
自分でも少し考えて見たのですが、(x,y)＝（t∧2,0)はt＝0においてφ′（0)=（0,0)かつφ“（0)=（2,0)ですがこれはx軸全体をφは動き、明らかにφ“（0)には接しないと思いました。
また、Wikipediaの平面曲線の特異点の項目を見ましたが、このように接するような特異点は尖点というそうですが、代数曲線の場合について接することは書かれていましたが、パラメタ表示された曲線の場合については分かりませんでした。
No.58230 - 2019/05/13(Mon) 14:25:23
☆ Re: パラメタ表示された曲線、特異点 / 初学者
また、微分幾何学の教科書、曲線と曲面を見ましたがとパラメタ曲線の特異点で接するとの記述はありませんでした。
どういうことなのでしょうか？
No.58231 - 2019/05/13(Mon) 14:28:12
☆ Re: パラメタ表示された曲線、特異点 / ＩＴ
> 自分でも少し考えて見たのですが、(x,y)＝（t∧2,0)はt＝0においてφ′（0)=（0,0)かつφ“（0)=（2,0)ですがこれはx軸全体をφは動き、明らかにφ“（0)には接しないと思いました。

その場合は、φ“（0)と重なりますよね。

また定義域をｔ∈[-1,1]　とした場合、このφは単射でないですね。
No.58239 - 2019/05/13(Mon) 19:21:31
☆ Re: パラメタ表示された曲線、特異点 / 初学者
回答ありがとうございます。
φは単射にすべきですから、０≦t≦１などとすべきでした。
φ（ｔ）＝（t^2,0)はｔ＝０で「接する」というのですね。
曲線が接するとは、「接線をその点で接線を共有すること」ですが、φ‘（ｔ）＝０となる点では、接ベクトルが定義できません。
この場合、接線の傾きはφ‘‘（ｔ）に一致するのでしょうか？（このことは証明できるのでしょうか？）
No.58242 - 2019/05/13(Mon) 22:26:51
☆ Re: パラメタ表示された曲線、特異点 / ＩＴ
質問文では、初学者さんがどこまでどういう理解をし、どういうイメージを持っておられるのか正確に把握できませんので誤解のないように正しく説明するのは難しいですね。

もう一度、そのテキストをよく読まれることをお勧めします。
No.58301 - 2019/05/15(Wed) 20:05:31
☆ Re: パラメタ表示された曲線、特異点 / ast
> φは単射にすべきですから、０≦t≦１などとすべきでした。
これだと単射にはできても, 特異点 t=0 を端点に追いやったせいで, 端点では片側極限しかないのでそもそも微分できずに特異点かどうか考えることが無意味になったという結果にしかなりません.
# ほかの内点に特異点は無いので, そもそもの画像に書かれている議論を追う役に立たない.

べつに (x,y)=φ(t)=(t^2,0) でも退化して潰れてることをちゃんと考慮の上でなら画像の議論は追えると思います.
# (t < 0) の部分の曲線と (t > 0) の部分の曲線が
# 画像で言う二曲線でそれらが t=0 の点 (0,0) で「接して」いて,
# 方向ベクトル φ''(0)=(2,0) を持つ直線の「両側」にある.

がまあ, 退化しないような簡単な例としては, ウィキペディアが上で話に出ていますが, そこで書かれてる例 (x,y)=φ(t):= (t^2,t^3) を材料にすればよいのでは.
# 代数曲線 x^3-y^2=0 とパラメタ曲線 (x,y)=(t^2,t^3) は
# 同じものと言って差し支えないでしょう.

以下はやや乱暴な議論をしますが, 厳密な議論は勘弁してください.

やや改変して (x,y):=(-t^2,t^3) (t < 0 のとき); =(t^2,t^3) (t ≥ 0 のとき) とやると, あまり変わらないように見えてもグラフは滑らかに繋がって単調増大, 原点は変曲点です.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%5E(3%2F2)%3Dy+,+-(-x%5E3)%5E(1%2F2)%3Dy

このとき, dy/dx の x→0 とする左右の極限は一致して 0 なので, x-軸は原点における「接線」になります.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(3+sqrt(x))%2F2,+(3+sqrt(-x))%2F2)

同様な理由でもとの曲線 (x,y)=φ(t):=(t^2,t^3) でも, (t < 0) の部分と (t > 0) の部分のそれぞれで, 片側からの連続的な接線族の極限の意味で x-軸は原点における接線と呼んで差し支えないと思います. φ''(0)=(2,0) なので x-軸は原点を通る方向ベクトル φ''(0) の直線であることもわかります.
No.58312 - 2019/05/16(Thu) 04:57:30