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記事No.58271に関するスレッドです
★
関数方程式
/ なすび
引用
これどうすればいいのかわかりません。。
ぜひ教えてください
No.58271 - 2019/05/14(Tue) 22:31:40
☆
Re: 関数方程式
/ おぎちん
引用
(1)
まず、(*)の両辺を、yについて2回微分します．すると、
f"(x + y) ＋ f"(x - y) ＝ 2f(x)f"(y) …(*1)
となります．
ここで、(*1)に、x = 0 , y = 0 を代入すると、
2f"(0) = 2f(0)f"(0) ∴ f"(0){f(0) - 1} = 0
となります．ここで、
f"(0) = -1 ≠ 0
より、
f(0) = 1
となります．
さらに、(*)を、yについて1回微分すれば、
f'(x + y) - f'(x -y) = 2f'(x)f(y)
上式に、x = 0 , y = 0 を代入すると、
0 = 2f(0)f'(0)
ここで、
f(0) = 1 ≠ 0
より、
f'(0) = 0
となります．
（答え）
f(0) = 1
f'(0) = 0
No.58276 - 2019/05/15(Wed) 06:50:33
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Re: 関数方程式
/ おぎちん
引用
(2)
次に、(1)(*1)に、y = 0を代入すると、
2f"(x) = 2f(x)f"(0) …(*2)
となります．よって、
f"(0) ≠ -1
より、これを(*2)に代入して、
f"(x) = -f(x)
を得ます．■
No.58277 - 2019/05/15(Wed) 06:57:57
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Re: 関数方程式
/ おぎちん
引用
(2)訂正
f"(0) ≠ -1
を
f"(0) = -1
に訂正します．
No.58278 - 2019/05/15(Wed) 06:59:44
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Re: 関数方程式
/ おぎちん
引用
(3)
F(x)を、xについて1回微分すると、
F'(x) = f'(x)cosx - f(x)sinx - f"(x)sinx - f'(x)cosx
∴ F'(X) = -f(x)sinx - f"(x)sinx …(*3)
ここで、(2)より、
f"(x) = -f(x)
より、これを(*3)に代入して、
F'(x) = 0
よって、F(x)は定数である．
次に、G(x)について、G(x)を、xについて1回微分すると、
G'(x) = f'(x)sinx + f(x)cosx + f"(x)cosx - f'(x)sinx
∴ G'(X) = f(x)cosx + f"(x)cosx …(*4)
ここで、(2)より、
f"(x) = -f(x)
より、これを(*4)に代入して、
G'(x) = 0
よって、G(x)は定数である．■
No.58279 - 2019/05/15(Wed) 07:11:43
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Re: 関数方程式
/ おぎちん
引用
(3)つづき
F(0) = f(0)cos0 - f'(0)sin0
ここで、
f(0) = 1
より、
F(0) = f(0) = 1
G(0) = f(0)sin0 - f'(0)cos0
ここで、
f'(0) = 0
より、
G(0) = f'(0) = 0
（答え）
F(x) = 1
G(0) = 0
No.58280 - 2019/05/15(Wed) 07:17:07
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Re: 関数方程式
/ おぎちん
引用
(4)
(3)より、
F(x) = f(x)cosx - f'(x)sinx = 1
です．上式の両辺にcosxをかけると、
f(x)(cosx)^2 - f'(x)sinx・cosx = cosx …(*5)
となります．
また、(3)より、
G(x) = f(x)sinx + f'(x)cosx = 0
です．上式の両辺にsinxをかけると、
f(x)(sinx)^2 + f'(x)sinx・cosx = 0 …(*6)
となります．
ここで、(*5)と(*6)の両辺を足すと、
f(x){(cosx)^2+(sinx)^2} = cosx …(*7)
となります．ここで、
(cosx)^2+(sinx)^2 = 1
に注意すると、(*7)より、
f(x) = cosx
となります．
（答え）
f(x) = cosx
No.58281 - 2019/05/15(Wed) 07:26:11
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Re: 関数方程式
/ おぎちん
引用
(*)は、三角関数の"和積の変換公式"に似ています．
(4)の答えが「cosx」になるだろうと予想して、計算していきました．
上に解答において、論理的におかしなところがあるでしょうか。。。
返信まっております。
No.58282 - 2019/05/15(Wed) 07:31:37
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Re: 関数方程式
/ X
引用
＞＞おぎちんさんへ
まずNo.58279において二か所タイプミスがありますね。
＞＞∴ F'(X) = -f(x)sinx - f"(x)sinx …(*3)
は
∴ F'(x) = -f(x)sinx - f"(x)sinx …(*3)
＞＞∴ G'(X) = f(x)cosx + f"(x)cosx …(*4)
は
∴ G'(x) = f(x)cosx + f"(x)cosx …(*4)
の誤りでは？
次にNo.58281について。
単にf(x)だけ求めるのではなくて、f'(x)も
求めた上で、矛盾がないか確かめる必要が
あるのでは？。
No.58302 - 2019/05/15(Wed) 20:39:51
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Re: 関数方程式
/ おぎちん
引用
＞＞Xさんへ
ご指摘ありがとうございます。
おっしゃる通り、タイプミスでした。すみません。
ついでにはなりますが、No.58280においても訂正があります。最後の行の
G(0) = 0
を
G(x) = 0
に訂正します。
ひきつづきN0.58280の補足ですが、
F(x)、G(x)が定数関数であることはNo.58279にて証明済みなので、それぞれx = 0における値のみを計算して、F(x)、G(x)の値としております。
また、No.58281においてのご指摘についてもありがとうございます。
「答えが問題の命題の必要条件になっていることだけでなく、十分条件になっていることを確認せよ」
とのことだと理解しました。確かに確認はしておりませんでした。（確認の論述は省略します。）
No.58305 - 2019/05/15(Wed) 23:21:21
