[ 掲示板に戻る ]
記事No.58299に関するスレッドです
★ 微分方程式、初期値問題、解の一意性 / 初学者
常微分方程式の初期値問題、一意性

画像の問題に関してxy平面全体で解が一意的に存在する為の必要十分条件がα≧1なのですか？
No.58299 - 2019/05/15(Wed) 18:31:12
☆ Re: 微分方程式、初期値問題、解の一意性 / 黄桃
ここで問われているのは
「初期条件y(0)=0 を満たす(0,0)の近傍での解が一意的である必要十分条件はα≧1である」
でしょう。必ずしもy(x)の定義域が実数全体である必要はないですが、この問題では定義域を実数全体となるようにできます。
証明は、例えば、
* α≧1 ならば解は一意的である
* 0<α<1 ならば解は2つ以上ある
を示します。
前者はリプシッツ条件を満たすことを示し、後者は実際に解を示すのが簡単でしょう。
後者について、α=1/3 の場合に書けば
y=0 (恒等的に0）と
y=(2x/3)^(3/2)(x≧0),=(-2x/3)^(3/2) (x<0) とが、
共にy'=|y|^(1/3), y(0)=0 を満たします。

#y=(2x/3)^(3/2)(x≧0),=0 (x<0) 等も可。
#定義域の実数全体で異なるという話なら、
#y=0 (x<1), y=(2(x-1)/3)^(3/2) (x≧1)
#などもそうですが、これは原点の近傍ではy=0と一致します。
##この問はリプシッツ条件を満たさないと解が一意的でない場合がある、という例です。
No.58334 - 2019/05/17(Fri) 08:01:19