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記事No.58447に関するスレッドです
★
これどうやるんですか？
/ 松前
引用
教えてくださいお願いします
No.58447 - 2019/05/22(Wed) 00:34:29
☆
Re: これどうやるんですか？
/ らすかる
引用
(補題)
f(x)={e^x-e^(-x)}/2とおくと
f(0)=0, f'(x)={e^x+e^(-x)}/2≧1（等号はx=0のとき）なので
x＞0でf(x)＞x
よってx＞0において
{e^x-e^(-x)}/2=f(x)＞x
e^x-e^(-x)＞2x
e^(2x)-1＞2xe^x
(e^(2x)-1)/(2x)＞e^x
e^x-(e^(2x)-1)/(2x)＜0
x=t/2とおいてe^(t/2)-(e^t-1)/t＜0
(本題)
t＞0として
f(x)=e^x-{(e^t-1)/t}x-1とおくとf(0)=f(t)=0
f'(x)=e^x-(e^t-1)/tから
x＜log((e^t-1)/t)のときf'(x)＜0すなわちf(x)は減少、
x＞log((e^t-1)/t)のときf'(x)＞0すなわちf(x)は増加で、
f(x)はx=log((e^t-1)/t)のとき最小値をとる。
これより
0＜log((e^t-1)/t)＜t … (1)
f'(t/2)=e^(t/2)-(e^t-1)/t＜0 （∵補題より）
なのでt/2＜log((e^t-1)/t)
これと(1)を合わせて
t/2＜log((e^t-1)/t)＜t
∴1/2＜(1/t)log((e^t-1)/t)＜1
# より簡単な方法があるかも知れません。
No.58452 - 2019/05/22(Wed) 10:38:13
☆
Re: これどうやるんですか？
/ ＩＴ
引用
（別解）
x>0 のとき 元の不等式は xe^(x/2)＜e^x-1＜xe^x と同値
それぞれ差をとって 微分して評価します。
f(x)=e^x-1-xe^(x/2)とおくと f(0)=0
f'(x)=e^x-e^(x/2)-(x/2)e^(x/2)=(e^(x/2))(e^(x/2)-1-x/2)
f'(0)=0
h(x)=e^(x/2)-1-x/2 とおくと h(0)=0
h'(x)=(1/2)(e^(x/2)-1)>0 ( x>0で )
よって x>0 で h(x)＞0 よって f'(x)＞0
よって x>0 で f(x)＞0
g(x)=xe^x-(e^x-1)とおくと g(0)=0
g'(x)=xe^x > 0 (x>0 で）
よって x>0 のとき g(x)>0
No.58464 - 2019/05/22(Wed) 23:40:38
