[
掲示板に戻る
]
記事No.58553に関するスレッドです
★
無限級数の収束
/ たゆたゆ
引用
画像の2問ですが、どちらも収束するらしいのですが、どのように考えたら収束するのか分かりません。ご教授願います。
No.58553 - 2019/05/26(Sun) 14:29:59
☆
Re: 無限級数の収束
/ らすかる
引用
一つ目
Σ[n=1〜∞]n^4・e^(-n^2)=Σ[n=1〜∞]n^4/e^(n^2)
a[n]=n^4/e^(n^2)とおくと
n≧2のとき
(n+1)^4/n^4=1+4/n+6/n^2+4/n^3+1/n^4＜1+1+2+1+1=6
e^((n+1)^2)/e^(n^2)=e^(2n+1)＞2^5=32
なので
a[n+1]/a[n]={(n+1)^4/e^((n+1)^2)}/{n^4/e^(n^2)}＜3/16
従ってn≧3のときa[n]＜a[2]・(3/16)^(n-2)なので
0＜Σ[n=1〜∞]n^4/e^(n^2)
＜a[1]+a[2]+a[2]Σ[n=3〜∞](3/16)^(n-2)
=a[1]+(16/13)a[2]
となり収束。
二つ目
f(x)=x^(-3/2)は減少関数なので
0＜Σ[n=1〜∞]√n/(n^2+1)
＜Σ[n=1〜∞]√n/n^2
=Σ[n=1〜∞]n^(-3/2)
=1/2+Σ[n=2〜∞]n^(-3/2)
＜1/2+lim[n→∞]∫[1〜n]x^(-3/2)dx
=1/2+lim[n→∞]{2(1-1/√n)}
=5/2
となり収束。
No.58556 - 2019/05/26(Sun) 15:57:05
