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記事No.58646に関するスレッドです
★ (No Subject) / モンゴル
画像は、問題「3^n = k^2 - 40 を満たす正の整数(k,n)をすべて求めよ。」の解説の最後のページです。

画像は、nが偶数のときを考えた後、
「nが奇数のとき、k^2-40=30^2l-1をみたす整数k、lがない」ことを証明する流れの解説です。

画像の、黄色い線のところ、すなわち「べき乗なので一の位が周期性を持ちます」というところがよくわかりません。

べき乗は必ず周期性を持つのですか？

また画像のように、k^2-40を10で割ったあまりが、9、4、1、01、4、9、6、5、6の周期性が確認できるのですが、これはたまたまですか？
No.58646 - 2019/05/29(Wed) 16:01:48
☆ Re: / らすかる
> べき乗は必ず周期性を持つのですか？
はい。
a^bの一の位がpのとき、a^(b+1)の一の位はp×aの一の位です。
同様にa^cの一の位がpならばa^(c+1)の一の位も同じ、のように
あるべき乗の余りの値が決まれば、次は必ず一通りに決まります。
余りは10通りしかありませんので、10個以内に必ず同じ値が
出現し、同じ値の後は必ず以前と同じ値が続きますので、
必ず周期性を持ちます。

> k^2-40を10で割ったあまりが、9、4、1、01、4、9、6、5、6の
> 周期性が確認できるのですが、これはたまたまですか？
たまたまではありません。
「k^2-40を10で割った余り」と「(k+10)^2-40を10で割った余り」は
等しいですから、こちらも周期性を持ちます。
No.58648 - 2019/05/29(Wed) 16:14:00
☆ Re: / モンゴル
ありがとうございます。

もう一つだけ答えて欲しいです。

「nが奇数のとき、k^2-40=30^2l-1をみたす整数k、lが少なくとも一つある」場合は、左辺と右辺の余りの周期が完全に一致しなくても等しくなる余りが出てくるって考えでよろしいですか？
No.58652 - 2019/05/29(Wed) 16:41:35
☆ Re: / らすかる
そうですね。
周期が違っても、少なくとも2つの周期の最小公倍数は
全体の周期になりますので、周期の最小公倍数分先は
同じ余りになります。
（もちろんそれ以前に同じ余りがあるかも知れません）
No.58655 - 2019/05/29(Wed) 17:01:20
☆ Re: / モンゴル
とても勉強になりました。
いつもありがとうございます。
No.58698 - 2019/05/30(Thu) 16:26:07