u∈R^2を長さ1のベクトルとして
直線l＝｛x∈R^2|(x・u)=0｝ （・は内積です）
に関する折り返し写像をTとする。すなはちT(x)は直線lに関してxと線対称の位置にあるベクトルであるという問題で
T(x)-x＝ku （kは任意）で(T(x)+x・u)＝0より、k＝-2(x・u)から、
T(x)＝x -2(x・u)uとなると書かれていました。
この図を理解しておらず、なぜT(x)・u＝0を使ってはいけないのか
図示して頂けるとありがたいです
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No.58733 - 2019/05/31(Fri) 10:32:49
| ☆ Re: 線対称 / 黄桃 | | | 向こうでITさんがおっしゃってましたが、根本的な誤解は
>直線l＝｛x∈R^2|(x・u)=0｝ （・は内積です）
にでてくるx と
>T(x)-x＝ku
にでてくるxは、まったく別物なのに、同じだと勘違いしていることです。
話を簡単にするために、直線lをx軸としましょう。このとき、uは(0,1) です。
つまり、直線l=x軸={(x,y)| y=0}={(x,y)∈R^2| (x,y)・(0,1)(=y)=0} です。
らすかるさんが書いているように
>T(x)-x
にでてくるx は、R^2の任意のベクトルです。例えば、x=(1,1) とでもしておきましょう。
T(x)はx軸に関し(1,1)と対称の位置にあるベクトルですから、(1,-1)です。したがって、
T(x)-x=(0,-2)
T(x)+x=(2,0)
となっています。
(0,-2)=-2*(0,1)なので、確かに解答の通りになっています。
なお、(T(x)+x)・u=0 というのは、まさに、
>直線l＝｛x∈R^2|(x・u)=0｝ （・は内積です）
の定義より、T(x)+x が直線lの上にある、ということです。
＃個人的には、x,T(x)は直線lに対して対称、というのだから、
＃その中点 (T(x)+x)/2 が直線l上にある、という方が分かりやすい気がします。
以上のことを、図形やベクトルのことばでいいかえると以下のようになります。
位置ベクトルxに対応する平面の点をX, T(x)に対応する点をT
原点をO, X,Tの中点をMとすれば、
* △OXT はOX=OTである2等辺三角形
* lは直線OM
* uは直線XT（⊥OM)の大きさ1の方向ベクトル（OMの大きさ1の法線ベクトル)
* T(x)-xはベクトルTX (だからuに平行;uの実数倍）
* (T(x)+x)/2 はベクトルOM (だからTXに垂直、つまりuと直交）
です。
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No.58758 - 2019/06/01(Sat) 07:00:22 |
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