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記事No.59078に関するスレッドです
★ (No Subject) / 蓮
これ証明付きで解いてくださいお願いします
わりかしむずいらしいです。
No.59078 - 2019/06/11(Tue) 01:00:20
☆ Re: / らすかる
ax+by+cz=1 … (1)
ax^2+by^2+cz^2=2 … (2)
ax^3+by^3+cz^3=6 … (3)
ax^4+by^4+cz^4=24 … (4)
ax^5+by^5+cz^5=120 … (5)
ax^6+by^6+cz^6=720 … (6)
ax^7+by^7+cz^7=t … (7)

(1)×xyz-(2)×(xy+yz+zx)+(3)×(x+y+z)-(4)から
xyz-2(xy+yz+zx)+6(x+y+z)=24 … (7)
(2)×xyz-(3)×(xy+yz+zx)+(4)×(x+y+z)-(5)から
xyz-3(xy+yz+zx)+12(x+y+z)=60 … (8)
(3)×xyz-(4)×(xy+yz+zx)+(5)×(x+y+z)-(6)から
xyz-4(xy+yz+zx)+20(x+y+z)=120 … (9)
(4)×xyz-(5)×(xy+yz+zx)+(6)×(x+y+z)-(7)から
xyz-5(xy+yz+zx)+30(x+y+z)=t/24 … (10)

(7)-(8)×2+(9)からx+y+z=12
(7)-(8)にx+y+z=12を代入してxy+yz+zx=36
(7)にx+y+z=12とxy+yz+zx=36を代入してxyz=24
これらを(10)に代入して 24-5×36+30×12=t/24
∴t=4896なのでax^7+by^7+cz^7=4896


ちなみにx+y+z=12,xy+yz+zx=36,xyz=24からx,y,zが求められ、
それを(1)(2)(3)に代入して連立方程式を解くとa,b,cが求められます。
具体値はx＜y＜zとすると
x=4-4cos(2π/9)=8(sin(π/9))^2
y=4-4cos(4π/9)=8(sin(2π/9))^2
z=4-4cos(8π/9)=8(sin(4π/9))^2
a=1/4+(2√3/9)sin(4π/9)
b=1/4-(2√3/9)sin(π/9)
c=1/4-(2√3/9)sin(2π/9)
となり、この値を代入すると確かに(1)〜(6)が成り立って
ax^7+by^7+cz^7=4896になります。
No.59085 - 2019/06/11(Tue) 04:15:38
☆ Re: / 蓮
答え違います。

答えは7！＝5040となります
実はこれ方程式の右辺が1！2！3！...7！となっているらしいですだから数列で解くらしいのですが、その解き方がわかりません
No.59114 - 2019/06/11(Tue) 22:25:27
☆ Re: / らすかる
いいえ、違いません。
上の解をあてはめて確認していますので、4896で間違いありません。
5040と書いてあったのなら、その答えが間違いです。
↓証拠
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F4%2B2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%284pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%28pi%2F9%29%29%5E2%29%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%28pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%282pi%2F9%29%29%5E2%29%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%282pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%284pi%2F9%29%29%5E2%29
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F4%2B2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%284pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%28pi%2F9%29%29%5E2%29%5E2%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%28pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%282pi%2F9%29%29%5E2%29%5E2%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%282pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%284pi%2F9%29%29%5E2%29%5E2
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F4%2B2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%284pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%28pi%2F9%29%29%5E2%29%5E3%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%28pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%282pi%2F9%29%29%5E2%29%5E3%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%282pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%284pi%2F9%29%29%5E2%29%5E3
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F4%2B2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%284pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%28pi%2F9%29%29%5E2%29%5E4%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%28pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%282pi%2F9%29%29%5E2%29%5E4%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%282pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%284pi%2F9%29%29%5E2%29%5E4
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F4%2B2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%284pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%28pi%2F9%29%29%5E2%29%5E5%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%28pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%282pi%2F9%29%29%5E2%29%5E5%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%282pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%284pi%2F9%29%29%5E2%29%5E5
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F4%2B2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%284pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%28pi%2F9%29%29%5E2%29%5E6%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%28pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%282pi%2F9%29%29%5E2%29%5E6%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%282pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%284pi%2F9%29%29%5E2%29%5E6
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F4%2B2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%284pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%28pi%2F9%29%29%5E2%29%5E7%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%28pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%282pi%2F9%29%29%5E2%29%5E7%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%282pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%284pi%2F9%29%29%5E2%29%5E7
上記サイトだけでなく、電卓でも確認しています。


# 見にくいですが、https://で始まるURLが7個(1乗〜7乗)書いてあり、
# それぞれのリンクを開くと
# x=8(sin(π/9))^2, y=8(sin(2π/9))^2, z=8(sin(4π/9))^2,
# a=1/4+(2√3/9)sin(4π/9), b=1/4-(2√3/9)sin(π/9),
# c=1/4-(2√3/9)sin(2π/9)とした時の計算結果が表示されます。

# もし上のリンクが開けないのであれば、https://www.wolframalpha.com/ に行って
# 数式入力欄に
# (1/4+2*sqrt(3)/9*sin(4pi/9))*(8(sin(pi/9))^2)^7+(1/4-2*sqrt(3)/9*sin(pi/9))*(8(sin(2pi/9))^2)^7+(1/4-2*sqrt(3)/9*sin(2pi/9))*(8(sin(4pi/9))^2)^7
# などのように入力すれば結果が表示されます。
No.59115 - 2019/06/11(Tue) 23:30:03
☆ Re: / ＩＴ
らすかるさんの答えが正しいです。
らすかるさんの答えを少し書き方を変えて　確認してみました。

自然数nについて
f(n)=ax^n+by^n+c^n とおく

xyz-x(xy+yz+zx)+(x^2)(x+y+z)=x^3 より
(x^n)xyz-(x^(n+1))(xy+yz+zx)+(x^(n+2))(x+y+z) = x^(n+3) なので
　s=xyz,t=xy+yz+zx,u=x+y+z とおくと
　(x^n)s-(x^(n+1))t+(x^(n+2))u=x^(n+3)
これはxをy,zに置き換えても同様に成り立つ

よって　f(n)s-f(n+1)t+f(n+2)u=f(n+3)…(ア)

f(1)=1,f(2)=2,f(3)=6,f(4)=24,f(5)=120,f(6)=720 より
　1s-2t+6u=24
　2s-6t+24u=120,　2で割って,s-3t+12u=60
　6s-24t+120u=720,　6で割って,s-4t+20u=120
この連立方程式を解くと s=24,t=36,u=12

よって(ア)から　 f(7)=24s-120t+720u=4896

やってることはらすかるさんの答えを写しただけです。
御自分で検証されることをお勧めします。
No.59116 - 2019/06/12(Wed) 00:16:16