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記事No.59126に関するスレッドです
★ (No Subject) / しめさば
数列の質問
k=1からnまでのΣ(n+1-k)ak=(n+1)^3-1
を満たすときanの一般項を求めよ
No.59126 - 2019/06/12(Wed) 11:09:42
☆ Re: / まうゆ
与式をsnとおく
s1=(1+1-1)a1=a1=2^3-1=7
n≧2の時
sn-s(n-1)=(n+1-n)an=an=(n+1)^3-1-((n-1+1)^3-1)=3n^2+3n+1
これはa1=7も満たす
∴an=3n^2+3n+1
No.59128 - 2019/06/12(Wed) 14:15:42
☆ Re: / X
横から失礼します。
>>まうゆさんへ
s[n]=Σ[k=1〜n](n+1-k)a[k]
と置いたのであれば
s[n-1]=Σ[k=1〜n-1](n-k)a[k]
なので
s[n]-s[n-1]=(n+1-n)a[n]
とはならないのでは？

Σ[k=1〜n](n+1-k)a[k]=(n+1)^3-1 (A)
とします。
Σ[k=1〜n]a[k]=S[n]
Σ[k=1〜n]ka[k]=T[n]
と置くと(A)は
(n+1)S[n]-T[n]=(n+1)^3-1 (A)'
よってn≧2のとき
S[n]-S[n-1]=a[n] (B)
T[n]-T[n-1]=na[n] (C)
により(A)'から
na[n]+S[n]-na[n]=3n^2+3n+1
∴S[n]=3n^2+3n+1 (D)
(A)より
a[1]=7 (E)
ゆえ(D)はn=1のときも成立。
よってn≧2のとき(B)(D)より
a[n]=6n (F)
となるので(E)(F)をまとめて
a[1]=7,a[n]=6n(n≧2のとき)
No.59129 - 2019/06/12(Wed) 18:36:18
☆ Re: / まうゆ
確かにそうでした
失礼しました
No.59159 - 2019/06/13(Thu) 10:32:19