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記事No.59130に関するスレッドです
★ 順列の総和と積分 / 星屑
画像の等式が成り立つことを示せたのですが，これは有名なものでしょうか？
No.59130 - 2019/06/12(Wed) 20:01:26
☆ Re: 順列の総和と積分 / 関数電卓
左辺は部分積分を繰り返して n/e になりますが、右辺もそうなるのですか？
No.59131 - 2019/06/12(Wed) 20:50:30
☆ Re: 順列の総和と積分 / X
>>関数電卓さんへ
左辺の定積分の下限を0と間違えて計算していませんか？
No.59134 - 2019/06/12(Wed) 21:02:24
☆ Re: 順列の総和と積分 / ＩＴ
関数電卓さんへ＞
> 左辺は部分積分を繰り返して n/e になります

間違いでは？

星屑さんへ＞
∫[0..∞](x^n)e^(-x)dx = n! は有名式ですね。
差分の∫[0..1](x^n)e^(-x)dx が有名かですが、手持ちの数冊のテキストでは出てきません。
No.59138 - 2019/06/12(Wed) 21:15:31
☆ Re: 順列の総和と積分 / 関数電卓
失礼しました。積分の下端は 1 でやりましたが、途中計算を間違いました。
左辺を f(n) とすると、f(n)＝nf(n−1)＋1/e　になるようです。
この f(n)、一般項が出せそうですが、これからやってみます。
左辺の積分を Wolfram 入れてみたら、不完全ガンマ関数 Γ(n,1) だと出てきました。ベータ関数とは何らかの関係がありそう。
No.59139 - 2019/06/12(Wed) 21:25:56
☆ Re: 順列の総和と積分 / ast
不完全ガンマで、Γ(n+1,1) の値ということですかね. 有名値なのかはよく知りませんが, 星屑さんご自身が書かれているように, ガンマとよく似た漸化式があるので, ひとつわかれば芋蔓式に出てくることになるのかと.

参考: ウィキペディア日本語版
　　: Wolfram Alpha でいくつか計算してみた
　　: ウィキペディア英語版には質問と同じ内容の式が書いてあるっぽい
No.59140 - 2019/06/12(Wed) 21:32:10
☆ Re: 順列の総和と積分 / ＩＴ
∫[0..1](x^n)e^(-x)dx は下記に出てますね。
e が無理数であることの証明 ［1997 大阪大・理（後）］

https://izu-mix.com/math/?p=205
No.59141 - 2019/06/12(Wed) 21:55:50