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記事No.59157に関するスレッドです
★ (No Subject) / あ
これの続きお願い致します。
No.59157 - 2019/06/13(Thu) 09:37:03
☆ Re: / らすかる
その続きは自分がどういう解答にしたいかで決まるものですから、
人が作っても意味がないと思います。
何でもよければ、(少し変えますが)

f(x)=∫[0〜1]|t^2-x^2|dt (0≦x≦2)
t^2-x^2≧0のとき
(t+x)(t-x)≧0
t≧x (∵t≧0,x≧0)
そして
∫|t^2-x^2|dt=∫t^2-x^2dt=(1/3)t^3-tx^2+C
t^2-x^2＜0のとき
(t+x)(t-x)＜0
t＜x (∵t≧0,x≧0)
そして
∫|t^2-x^2|dt=∫-t^2+x^2dt=-(1/3)t^3+tx^2+C
よって
(i)0≦x≦1のとき
f(x)=∫[0〜x]|t^2-x^2|dt+∫[x〜1]|t^2-x^2|dt
=[-(1/3)t^3+tx^2][0〜x]+[(1/3)t^3-tx^2][x〜1]
=-2((1/3)x^3-x^3)+(1/3-x^2)=(4/3)x^3-x^2+1/3
(ii)1≦x≦2のとき
f(x)=∫[0〜t]|t^2-x^2|dt=[-(1/3)t^3+tx^2][0〜1]=x^2-1/3
以上(i)(ii)より、
(以下解説と同じ)

# 結局最初にt≧xとt＜xで場合分けした不定積分を書いただけで
# 基本は解説と変わりません。
No.59161 - 2019/06/13(Thu) 11:21:29
☆ Re: / あ
> t^2-x^2＜0のとき
(t+x)(t-x)＜0
t＜x (∵t≧0,x≧0)
これはt=1,x=2の時、-x<tも満たしませんかね？
No.59162 - 2019/06/13(Thu) 12:00:55
☆ Re: / らすかる
t≧0かつx≧0なのでt=x=0でない限り常に-x＜tは満たしますが、
それがこの問題の解答と関係あるのですか？
No.59163 - 2019/06/13(Thu) 14:30:09
☆ Re: / あ
条件が違うと答えも変わるのではと考えています。正直に申しますと解答を見ないでどう解けば良いかまだ分かっていません。すみません。
No.59175 - 2019/06/13(Thu) 17:53:40
☆ Re: / らすかる
条件が違えば答えが変わるのは当然ですが、
どういう条件を考えているのでしょうか。

この問題の考え方は以下のようになります。
・絶対値を含む積分だから場合分けが必要
・tもxも非負だから、t^2-x^2の正負はt-xの正負と同じ
・従ってt≧xとt＜xで場合分けすればよい
・しかし0≦t≦1,0≦x≦2だからx≧1の場合はt＞xと
　なることがなく、場合分けできない
・よってt≧xとt＜xで場合分けする以前に、x≧1とx＜1で
　場合分けしなければいけない
・x≧1の場合はt-x≦0だからtとxの大小関係による場合分けは
　不要で、|t^2-x^2|=-(t^2-x^2)として単純に積分すればよい
・x＜1の場合はt≧xとt＜xで場合分けして積分、つまり
　積分区間0〜1を0〜xとx〜1に分けてそれぞれ絶対値を外す
このように考えますので、自動的に解答＆解説に
書かれているような解答になります。
No.59176 - 2019/06/13(Thu) 19:21:46
☆ Re: / あ
分かりました。ありがとうございます。
No.59190 - 2019/06/14(Fri) 11:07:06