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記事No.59208に関するスレッドです
★ (No Subject) / モンゴル
(2z+2i)/(z+2i)=z*
を満たす複素数zをすべて求めよ。（z*はzに共役な複素数）

という問題で、z=a+bi(a,b実数)、z*=a-biとし、そのあと与式の両辺をz+2iで払って整理したあと、zとz*にさっきの式を代入をし、複素数の相当を使って方程式を解いて答えを導きました。

私と同じ解き方をした人に対して画像のような指摘がありました。
これはどういうことでしょうか？分母を払うと同値性がくずれるのですか？複素数の話だけですか？
No.59208 - 2019/06/14(Fri) 23:06:24
☆ Re: / らすかる
虚数特有の話ではありません。整数や実数でも同じです。
例えば
(x^2+2x-8)/(x-2)=1 を解け。
と言う問題で
両辺にx-2を掛けて
x^2+2x-8=x-2
両辺からx-2を引いて
x^2+x-6=0
(x+3)(x-2)=0
∴x=2,-3 … (答)
のようにしたら減点されるか、0点になります。
なぜだかわかりますか？
No.59209 - 2019/06/14(Fri) 23:34:02
☆ Re: / モンゴル
ありがとうございます。

分母が0になっちゃいけないので、それだと、最初に与えられた式が成り立つという前提がそもそもおかしくなるから、x=-3のみってことですか？

浅い考えで申し訳ないのですが、私はらすかるさんの例の分数の式の左辺を見て、分母を払う前からx≠2だなぁというのは直感的にわかります。

分母を払った瞬間に同値が崩れるというのがよくわかりません。
与えられた式を見ただけで分母が0にならないように考えることはいけないのでしょうか。(画像の例ならz≠2i、らすかるさんの例ならx≠2と、式を見ただけで判断してもいいんですか。)
No.59216 - 2019/06/15(Sat) 15:52:24
☆ Re: / らすかる
> 分母が0になっちゃいけないので、それだと、最初に与えられた式が成り立つという
> 前提がそもそもおかしくなるから、x=-3のみってことですか？
その通りです。

> 分母を払った瞬間に同値が崩れるというのがよくわかりません。
(x^2+2x-8)/(x-2)=1 の解は x=-3のみ
両辺にx-2を掛けたx^2+2x-8=x-2 の解は x=2,-3
ですから同値（全く同じ解を持つ方程式）ではないですね。

> 与えられた式を見ただけで分母が0にならないように考えることはいけないのでしょうか。
もちろん「考える」のはOKというより考えなければいけませんが、
それを「考える」だけでなく「解答に明記」しないと、解答者が考えたかどうかが
わかりませんので、「京大の先生だったら減点する」ということです。

> (画像の例ならz≠2i、らすかるさんの例ならx≠2と、式を見ただけで判断してもいいんですか。)
式を見ただけで判断するのは構いません。
それを判断したかどうかがわかるように解答の中に書くということです。

ですから「京大の先生でも減点しない」解答は、上の例ならば
問題 (x^2+2x-8)/(x-2)=1を解け。
解答
(x^2+2x-8)/(x-2)=1
⇔x^2+2x-8=x-2 かつ x≠2
⇔x^2+x-6=0 かつ x≠2
⇔(x+3)(x-2)=0 かつ x≠2
⇔x=-3
のようになります。
ただし、必ずしもここまで書く必要はありません。
上の例ならば
(x^2+2x-8)/(x-2)=1
x^2+2x-8=x-2
x^2+x-6=0
(x+3)(x-2)=0
問題の式からx≠2なので x=-3
ぐらいでOKです。

しかしこれは、導出した解がすべて元の式を満たす場合でも
明記する必要がありますので、
例えば「(x^2+2x-14)/(x-2)=1を解け」という問題を
(x^2+2x-14)/(x-2)=1
x^2+2x-14=x-2
x^2+x-12=0
(x+4)(x-3)=0
∴x=3,-4
と書いただけではx≠2に注意を払っていないと判断されて
京大の先生なら減点されるということで、
(x^2+2x-14)/(x-2)=1
⇔x^2+2x-14=x-2 かつ x≠2
⇔x^2+x-12=0 かつ x≠2
⇔(x+4)(x-3)=0 かつ x≠2
⇔x=3,-4
のように書くか、あるいはもう少し簡単に
(x^2+2x-14)/(x-2)=1
x^2+2x-14=x-2
x^2+x-12=0
(x+4)(x-3)=0
問題の式からx≠2だがx=3,-4は両方ともx≠2を満たすので、
答えはx=3,-4
などのように書けばOKです。
No.59217 - 2019/06/15(Sat) 16:15:53
☆ Re: / モンゴル
とても勉強になりました。

今まで全く配慮していなかったのですが、次回からは同値を意識した計算をしていきたいと思います。

本当にありがとうございます。
No.59219 - 2019/06/15(Sat) 17:30:04