[ 掲示板に戻る ]
記事No.59391に関するスレッドです
★ 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
らすかるさん大変申し訳ございません。
どうしてもお聞きしたいことがあり、新しいスレを作らせて頂きました。
ご迷惑おかけしてしまい本当に申し訳ありません。
こちら（http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=58741）は「1/ cos^2θの微分を図で表したいです。」の前のスレです。


＞＞「負の値にしないためにただマイナスを付ける」などという
いいかげんなことを数学でやることはありません。
cosθの値が「x軸の正の方向から反時計回りに長さ1の線分OA（Oは原点）を
θ回転した時のAのx座標」というのはわかっているんですよね？
# もしそれすら知らなければ「三角関数 単位円」を検索して勉強して下さい
だからθが鈍角の場合はAのx座標であるcosθは当然負になり、
このAをy軸に対称に移動した点をA'とすれば
x軸の負の方向とOA'のなす角度はθであり、
Aのx座標とA'のx座標は符号を反転したものですから
A'のx座標は-cosθとなります。
だからマイナスなのです。
に関して、最後にどうかお願いいたします。
90°＜θ＜180°のθの取るA座標は（cosθ,sinθ）で、
y軸に対称に移動した点をA'（—cosθ,sinθ）です。
どちらの場合も90°＜θ＜180°のθから成るもので（cosθ,sinθ）から作ったtanθの加法定理と（—cosθ,sinθ）から作ったtanθの加法定理は同じ90°＜θ＜180°のθから作られたのに同じ式にならないのですが、何が間違っているのかわかりません。
個人的には実際に図を書いてみて、A（cosθ,sinθ）の場合でできるのならば、同じ角度θで反転して（—cosθ,sinθ）になってもA（cosθ,sinθ）の場合で作った式と同じ答えが導けると思ったのですが、これは反転させた座標は使ってはいけないということでしょうか？
だとしたらなぜでしょうか？
長文になってしまい申し訳ありません。どうかよろしくお願いいたします。
No.59230 - 2019/06/15(Sat) 23:44:12
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
「何が間違っているのかわかりません」だけ書かれても、
誰にもわかりません。解いた手順を書いて下さい。
ただし、一部のポイントだけ抜粋されてもよくわかりませんので、
きちんと試験の解答の形に清書して書いて下さい。
No.59231 - 2019/06/15(Sat) 23:58:12
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
返信ありがとうございます！
わかりました。伝え方が悪くてすいません。
図を用いて改めて質問させて頂きます。
しばしお待ちください。
No.59233 - 2019/06/16(Sun) 00:32:03
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
度々すいません。
今現在悩んでいる問題の解決に繋がるので質問させて頂きたいのですが、No.59228 に関して
＞＞ ちなみに、90°＜θ＜180°でのθの座標（cosθ、sinθ）を使わず、
> y軸に対称に作った座標（‐cosθ、sinθ）から図形を作るのは
> 長さがマイナスでないことを考慮したためでしょうか？
違います。cosの時と同様に、図を反転せずに同じ図を使いまわしたいからです。
そうすれば各値の符号を考えるだけで証明が終わります。
とのことですが、画像の図を反転しないで（図の変数の符号を気を付ければ）座標A`（‐cosθ、sinθ）からでも座標Aと同じような答えを導ける式が得られるのでしょうか？
No.59235 - 2019/06/16(Sun) 01:21:17
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
少し付けたしたいことがあり編集しようと思ったのですがパスワードを忘れてしまい、改めて送らせて頂きます。


度々すいません。
今現在悩んでいる問題の解決に繋がるので質問させて頂きたいのですが、No.59228 に関して
＞＞ ちなみに、90°＜θ＜180°でのθの座標（cosθ、sinθ）を使わず、
> y軸に対称に作った座標（‐cosθ、sinθ）から図形を作るのは
> 長さがマイナスでないことを考慮したためでしょうか？
違います。cosの時と同様に、図を反転せずに同じ図を使いまわしたいからです。
そうすれば各値の符号を考えるだけで証明が終わります。
とのことですが、画像の図を反転しないで（図の変数の符号を気を付ければ）座標A`（‐cosθ、sinθ）かつθ+dθあるいはθ−dθの場合からでも座標Aと同じような答えを導ける式が得られるのでしょうか？
No.59236 - 2019/06/16(Sun) 01:27:33
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
> 画像の図を反転しないで（図の変数の符号を気を付ければ）
> 座標A`（‐cosθ、sinθ）かつθ+dθあるいはθ−dθの場合からでも
> 座標Aと同じような答えを導ける式が得られるのでしょうか？

この図に「座標A`」「座標A」「θ」「dθ」はないので
質問の詳細はわかりかねますが、
図の向きがどうであっても正しく示せば必ず同じ答えが得られます。

「答えが合わない」のでしたら、
結論までの過程を詳細に書いて下さい。
そうすればどこが悪いか具体的に指摘できると思います。
No.59237 - 2019/06/16(Sun) 01:33:00
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
＞＞「答えが合わない」のでしたら、
＞＞結論までの過程を詳細に書いて下さい。
＞＞そうすればどこが悪いか具体的に指摘できると思いま
＞＞す。
すいません。実は画像の図に座標Aの情報を書き足してみたのですが、うまい具合に符号が導けずtan(θ-dθ)=(tanθ-tandθ)/(1+tanθtandθ)とならず困っています。なので過程の式に関しては
tan(θ-dθ)=(—tanθ+tandθ)/(1—tanθtandθ)となっています。似てはいますがtan(θ-dθ)=(tanθ-tandθ)/(1+tanθtandθ)ではありません。
No.59240 - 2019/06/16(Sun) 03:26:30
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
すいません。No.59240には致命的なミスがありました。
dθは左から右に行くため−dθとなります。
なのでtan（θ—（—dθ））となるためtan（θ+dθ）となります。そして-tanθ=—sinθ/cosθ、tan dθ=-sin dθ/cos dθ（正しいかわかりませんが、dθが存在する範囲によってはtan dθは正の値になったり、負の値になったりしました）と導けました。

今回は座標A`での話であるためdθは0°<θ<90°の範囲内にあります。）よって
tan（θ+dθ）=(—tanθ+tandθ)/(1—tanθtandθ)と画像のtan（θ+dθ）=(tanθ+tandθ)/(1—tanθtandθ)の式とは異なるものが導けました。

どこで符号のミスをしたのか、よくわからず困り果てています。

質問は3つあります。
一つ目はtan（θ+dθ）=(tanθ+tandθ)/(1—tanθtandθ)の式にならかった原因は何でしょうか？

二つ目はdθが存在する範囲によってはtan dθは正の値になったり、負の値になったりするのは正しいのでしょうか？

三つ目は、今回のθは右から左に進み座標A（cosθ、sinθ）を作ったのに、なぜX軸の負の線と座標Aの対称の座標A`のなす角のθは左から右に来たのに-θではないのでしょうか？
もちろん-θが別の部分を表していることはわかるのですが、X軸の正の部分から座標A（cosθ、sinθ）の直線とのなす角とXの負の部分から対称の座標に対してのなす角が同じ角度だからと言って符号が+のままでθと置ける理由がわかりません。

どうかよろしくお願いします。
No.59241 - 2019/06/16(Sun) 04:07:05
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
> 一つ目はtan（θ+dθ）=(tanθ+tandθ)/(1-tanθtandθ)の式に
> ならかった原因は何でしょうか？
式を導出した過程を細かく書いて頂けないとわかりません。
（内容を書かずに「自分の計算が合わないけど原因は何？」と聞いて答えられると思いますか？）

> 二つ目はdθが存在する範囲によってはtan dθは正の値になったり、
> 負の値になったりするのは正しいのでしょうか？
dθの取り方によりますが、図形で考える場合は普通dθは正にしますので
tandθは負にはならないはずです。
これも導出過程を細かく書いて頂けないとわかりません。


> 三つ目は、今回のθは右から左に進み座標A（cosθ、sinθ）を作ったのに、
> なぜX軸の負の線と座標Aの対称の座標A`のなす角のθは左から右に来たのに
> -θではないのでしょうか？
意味がわかりません。
「今回のθ」とはその下の図のθのことですか？
図が違うのであれば、図を載せて下さい。

> もちろん-θが別の部分を表していることはわかるのですが、
> X軸の正の部分から座標A（cosθ、sinθ）の直線とのなす角と
> Xの負の部分から対称の座標に対してのなす角が同じ角度だからと言って
> 符号が+のままでθと置ける理由がわかりません。
通常、図形上の角度に負はないですね。
同じ角度をどこに書いても正です。
θが「右から左に進む」とか「左から右に来た」とかいうのと
関係があるのですか？
θは進むものではありませんから方向はありません。
No.59243 - 2019/06/16(Sun) 04:28:14
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
>式を導出した過程を細かく書いて頂けないとわかりません。
返信ありがとうございます。
細かい部分が抜けていました。すいません。
近似の図を使いtan dθと導けたため、（たぶんtan dθの値は正の値として）tan dθの符号はそのままでtan dθとなりました。

A`の座標より-tan θ=-cosθ/sinθより-tan θとなりました。

以上の過程よりtan（θ—dθ）の加法定理の式は
tan（θ—dθ）=(—tanθ+tandθ)/(1—tanθtandθ)と導けました。
しかし、実際の正しい式はtan（θ—dθ）=(tanθ—tandθ)/(1+tanθtandθ)であるためどこかが間違っているとわかりました。
過程のどの部分でミスをしたのかわかりません。


＞＞通常、図形上の角度に負はないですね。
同じ角度をどこに書いても正です。
なるほど、時計回りにθを進んでも-θとしなくても正しい座標は求まるので-の角度を図で書く必要はないですね！（サイトで他の図を見てみましたが確かにーθという表記はありませんでした。勝手に思い込んでいました。すいません。）

＞＞「今回のθ」とはその下の図のθのことですか？
はい、先ほどと同じ画像ですが、この画像の（黒い）θのことです。
No.59246 - 2019/06/16(Sun) 10:33:54
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
> tan（θ-dθ）=(-tanθ+tandθ)/(1-tanθtandθ)と導けました。
分母のtanθtandθはどうやって導いたのですか？
それと、左辺は
tan(θ-dθ)ではなく
-tan(θ-dθ)です。
-tanθと同じ理由でマイナスが付きます。
No.59250 - 2019/06/16(Sun) 12:45:06
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
＞＞-tan(θ-dθ)です。
-tanθと同じ理由でマイナスが付きます。
なるほどsin(θ-dθ)/‐cos(θ-dθ)であるため-tan(θ-dθ)となるのですね！

＞＞分母のtanθtandθはどうやって導いたのですか？
図形より符号のみを気を付けてtanθtandθを導くことを考え、-tan θ=-cosθ/sinθとなり、tan dθは近似の図を使いtan dθと導けたため、正の符号のままtan dθと出来ました。
ただ、今考えると-tan θ=-cosθ/sinθではなく（タイプミスしました）、-tan θ=sinθ/-cosθであり、
両辺に−1を掛けてtan θ=sinθ/cosθとできるため、
分母はtanθtan dθと表せます。

なので
−tan（θ-dθ）=(-tanθ+tan dθ)/(1+tanθtandθ)
両辺にマイナスを掛けて
tan（θ-dθ）=(tanθ‐tan dθ)/(1+tanθtan dθ)と正しい式が導けました。
以上の考え方は正しいでしょうか？

もう一つ、（θ+dθ）の場合を考えて
tan（θ+dθ）=(tanθ+tan dθ)/(1-tanθtan dθ)を導こうとしたところ、
-tan（θ+dθ）=(-tanθ+tan dθ)/(1-tanθtan dθ)と導けました。過程の式はNo.59246に書いてあるのと同じで
tan（θ—dθ）を導いた時の過程の式をそのまま使いました。tan（θ—dθ）がtan（θ+dθ）に変わっただけなので、座標に変化はないのですが、もしかしたらdθの符号に関して何か変化があるのかもしれませんが、何が足りないのか行き詰まっています。
No.59252 - 2019/06/16(Sun) 13:19:18
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
> ただ、今考えると-tan θ=-cosθ/sinθではなく（タイプミスしました）、
> -tan θ=sinθ/-cosθであり、
> 両辺に−1を掛けてtan θ=sinθ/cosθとできるため、
図から長さを読み取って式を立てるのに、
-1を掛ける必要はありません。

> 分母はtanθtan dθと表せます。
これはどうやって導いたのですか？
詳しく書いて下さい。
（それに、分母は1+tanθtandθが正しいのでtanθtandθでは誤りです）

> 以上の考え方は正しいでしょうか？
途中経過が書かれていませんので正しいかどうかわかりませんが、
途中で「-1を掛ける」などという無意味な計算をしているようですので
おそらく正しくないと思います。

> もう一つ、（θ+dθ）の場合を考えて
> tan（θ+dθ）=(tanθ+tan dθ)/(1-tanθtan dθ)を導こうとしたところ、
> -tan（θ+dθ）=(-tanθ+tan dθ)/(1-tanθtan dθ)と導けました。
> 過程の式はNo.59246に書いてあるのと同じで
> tan（θ-dθ）を導いた時の過程の式をそのまま使いました。
90°＜θ＜180°に対してtan(θ+dθ)の式を作りたいのでしたら、
tan(θ-dθ)のときとは違う図が必要です。
「図から求める」のに、tan(θ-dθ)の図や式を使うことはできません。

# 全般的に、「図から求める」のと「式変形」を
# ごちゃまぜにしているように見受けられます。
# 「図から求める」のであれば、「途中で-1を掛ける」とか
# 「tan（θ-dθ）を導いた時の過程の式をそのまま使」うなどは
# できません。
# 図の中の「tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)」という式も、
# 式変形など一切せずに図だけで求めていますね。

## 「図で求める」ということは、
## 図で「ここの長さは○」「ここの長さは□」・・・のように
## それぞれの線分の長さについて調べて、最後に
## tan(α+β)=(□の長さ)/(△の長さ)
## のように式を作るのですが、理解していますか？
No.59253 - 2019/06/16(Sun) 14:44:19
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
返信遅くなりすいません。

おかげさまでtan(θ+dθ)=(tanθ+tandθ)/(1-tanθtandθ)を導けました。一から図を作ったところ導くことが出来ました。しかし、やはりNo.59253に書いてある通り、
tan(θ-dθ)はたまたま導けただけで、正しい物ではありませんでした。
なのでtan(θ-dθ)においても一から図を作りたいと思います。
画像のように途中まで描いたのですが、このままだとtan(θ+dθ)を導いた時と同じような展開になりそうで間違っているような気がします。

どこが間違っているのか、なぜこの図ではダメなのでしょうか？
座標や角度、長さを表す変数は間違っていないと思うのですが。
なんども書き直しているのですが、どうしてもこの図になってしまい抜け出せなくなっています。
どうかココが間違っているとご指摘して頂けると助かります。
No.59288 - 2019/06/17(Mon) 03:03:25
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
90°＜θ＜180°のときのtan(θ-dθ)は
59235にある図がそのまま使えますので、
わざわざ作りなおすことはないと思いますが、
どうしても一から図を作りたいのであれば、
一から図を作って不正解にたどりつくまでの
詳細を書いて下さい。
そうすれば、どこに間違いがあるか
具体的に指摘できると思います。
上の図のような中途半端な図だけで
「どこが間違っているのか」と言われても、
誰にもわかりません。
前にも書きましたが、内容を書かずに「自分の計算が
合わないけど原因は何？」と聞いても誰にもわかりませんよね？

# もし59235にある図で良ければ、
# 前スレ59160に私が既に正解を書いたのですが、
# この正解は見ませんでしたか？
# それとも見てもわからなかったのですか？
No.59290 - 2019/06/17(Mon) 06:33:47
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
正直なところ、見てもわかりませんでした。なぜ→のように置き換えられたのか理解できませんでした。なのでどうかヒントを頂きたいです。
「
全く同じです。
その図は左右反転されているのでまず左右反転を戻し、
・θを元のαの外角にする
・dθは元のβのまま
とすると
・小さい三角形のαも外角をθにする
・tanα→-tanθ
・secα→-secθ
・tanβ→tandθ
・secαtanβ→-secθtandθ
・tanαtanβ→-tanθtandθ
となり、
-tan(θ-dθ)=(-tanθ+tandθ)/(1+tanθtandθ)
すなわち
tan(θ-dθ)=(tanθ-tandθ)/(1+tanθtandθ)
となります。
」
No.59291 - 2019/06/17(Mon) 08:42:58
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
では、その図に書かれている内容は理解できていますか？
もし理解できていたら、それぞれの線分の長さはなぜそうなるのかを
説明して下さい。（長さ1の線分以外）
No.59294 - 2019/06/17(Mon) 10:43:37
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
遅くなりすいません。

説明します。
ただ申し訳ないのですが、外角にθ、βをdθとして図を作り、その図についての式tan(θ+dθ)を導く説明をします。

角度の進み方向によって角度に符号を付けました。

紙に図形と過程の計算を書かせて頂きました。
同じやり方でtan(θ—dθ)も正しく求まりました。

もし間違っている部分があればどの部分をどのようにすればよいか是非教えてください。

どうかよろしくお願いします。
No.59303 - 2019/06/17(Mon) 23:40:53
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
最初から間違っています。
底辺-cosθ、垂直辺sinθ、斜辺1となっている三角形のαの外角は
「-θ-dθ」ですから、底辺は-cos(-θ-dθ)、垂直辺はsin(-θ-dθ)となります。
よってこの図で得られた結果は正しいとは言えません。
最初が間違っていますので、以降の確認は（無意味なので）しません。

上のtan(α+β)の図を使うのはやめたのですか？
あちらの方が近似部分がなく正確に求められると思いますが。

それから、「-θ」とか「-dθ」のようにマイナスにするのは
図形による解法として不自然ですし、
「-θ」で式を求めても「-180°＜θ＜-90°」の場合の式を
求めているだけで、
「90°＜θ＜180°」の場合の式を求めることになりません。
それから、「dθ」を単に「-dθ」に変えることでtan(θ+dθ)とtan(θ-dθ)の式が
得られても、意味がありません。
No.59304 - 2019/06/18(Tue) 00:30:24
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
ご指摘ありがとうございます。
座標の表現自体が間違っていることを確認しました。

＞＞それから、「-θ」とか「-dθ」のようにマイナスに＞＞するのは
＞＞図形による解法として不自然ですし、
＞＞「-θ」で式を求めても「-90°＜θ＜-180°」の場合＞＞の式を
＞＞求めているだけで、
＞＞「90°＜θ＜180°」の場合の式を求めることになり＞＞ません。
あの仮に−θとしてもcos(-θ）とsin（—θ）はcosθと−sinθになるので90°＜θ＜180°の場合の式を求められると考えていたのですが、これでは求まらないということは図のように−θと置くこと自体が間違いなのでしょうか？
よくよく考えたら、時計回りにθ進むとその座標は（cos(-θ）、sin（—θ））であり、（cosθ、—sinθ）となるので図の座標（—cosθ、sinθ）にならないため、図の−θは間違っていることがわかりました。
改めて図を書きなおします。

今回の問題とは関係ないですが、基礎を勉強し、復習してきましたが、複雑に問題が絡んだり、少しθが鈍角になったりすると今までの基礎が抜けてしまいます。本当にご迷惑おかけします。ですが、どうしても理解したいのでどうか出来の悪い私に付き合って頂けると大変ありがたいです。
No.59306 - 2019/06/18(Tue) 01:04:10
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
> あの仮に−θとしてもcos(-θ）とsin（-θ）はcosθと−sinθになるので
> 90°＜θ＜180°の場合の式を求められると考えていたのですが、
> これでは求まらないということは図のように−θと置くこと自体が
> 間違いなのでしょうか？
「-θと置くこと自体が間違い」ではありませんので
何らかの式は得られると思いますが、
鈍角を「-θ」とおいたということは
90°＜鈍角＜180°ですから
90°＜-θ＜180°
∴-180°＜θ＜-90°
となり、「-180°＜θ＜-90°」の場合の式を求めていることになり、
「90°＜θ＜180°」の場合の式を求めていることにはなりません。
No.59307 - 2019/06/18(Tue) 01:41:18
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
＞＞よくよく考えたら、時計回りにθ進むとその座標は（cos(-θ）、sin（—θ））であり、（cosθ、—sinθ）となるので図の座標（—cosθ、sinθ）にならないため、図の−θは間違っていることがわかりました。
に関して、「-θと置くこと自体が間違い」ではないとのことですが、正しい座標は導けていないため図の−θの「位置」は間違っているのでしょうか？
私は間違っていると思っています。なぜならば—cosθ、sinθ）とはならず（cosθ、—sinθ）となるためです。

図を改良しました。
θは正の値として使っています。
そろそろ正しい導き方が導けると嬉しいです。全く前に進まないため自業自得でありますが精神的に疲れます。
No.59308 - 2019/06/18(Tue) 02:20:37
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
最初からおかしいです。
cosθは負の値ですから、
A：1=sinθ：-cosθです。

それから、この図から求まるのは
tan(θ-dθ)ではなくtan(θ+dθ)です。
斜線が引かれている三角形の細い角の角度が
θ-(-dθ)=θ+dθですから。

# いいかげん、角度(dθ)にマイナスをつけるのやめませんか？
# 紛らわしいのでチェックも面倒です。
# 今のところは最初の1行しかチェックしていませんが。
No.59309 - 2019/06/18(Tue) 02:37:43
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
どうもすいません。
＞＞cosθは負の値ですから、
A：1=sinθ：-cosθです。
以前に90°＜θ＜180°でのθでの座標は（cosθ（負の値）、sinθ（正の値））と言っていたような気がするのですが、-cosθだと符号でX軸のマイナスの範囲なのに正の座標となり間違った答えが出ると言われたのですが、
今回はθは90°よりも大きいのでX座標は負の値なのでマイナスの符号を付けるとX座標の値が正の値になってしまうと思うのですが。
間違っていたらすいません。
No.59310 - 2019/06/18(Tue) 02:55:57
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
座標と長さをごちゃまぜに考えているのが誤りです。
図形的に解くのに各線分の長さを求めていくだけですから、
座標は一切関係ありません。
（この図形がxy平面上のどこにどんな向きにあっても結果は変わりません。）
90°＜θ＜180°のときcosθは負、sinθは正ですから、
三角形の辺の長さは「-cosθ」でなければなりません。
X座標とか一切関係ありません。

だいいち、Aも1もsinθも正なのに
A：1=sinθ：cosθはおかしいと思いませんか？
No.59311 - 2019/06/18(Tue) 03:05:37
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
なるほど、確かに勘違いしていました。
では、今回は長さで考えるため座標を用いて解こうとすると間違った計算をすることになるのですね！
ということは座標のように符号で考えるのか、長さのように考えるかのどちらかを決めてから図を作り計算しないと間違った計算をすることになるのですね！

ちなみに、今更なのですが、θはマイナスで置いても間違いでは無ですが、なぜdθは−dθと置くのは間違いなのでしょうか？
No.59314 - 2019/06/18(Tue) 04:10:40
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
> ということは座標のように符号で考えるのか、長さのように
> 考えるかのどちらかを決めてから図を作り計算しないと
> 間違った計算をすることになるのですね！

違います。元々の目的が図形的に求めることですから
「座標のように符号で考える」という選択肢はなく、
すべて「長さ」で考えなければいけません。
「座標」という考え方を持ち込むと、図形的に求めるのではなく
「座標で求める」という求め方になってしまって
当初の目的と変わってしまいます。
# (cosθ)^2や1/(cosθ)^2のときに「座標」という考え方や
# 負の長さ、負の角度は一切なかったですよね？


> ちなみに、今更なのですが、θはマイナスで置いても間違いでは
> 無ですが、なぜdθは−dθと置くのは間違いなのでしょうか？

いや、-dθとすること自体が「間違い」とは言っていません。
ただ、59308の図で求まるのはtan(θ-dθ)ではなく
tan(θ-(-dθ))=tan(θ+dθ)ですよ、と言ったのです。

しかし角度を-dθと置くということは、
角度は正なので
-dθ＞0
∴dθ＜0
となってdθが負になるだけで、マイナスを付けても
見にくくなるというデメリットしかありませんので、
付けない方がいいです。

とにかく、「図形的に求める」からには
「角度はすべて正」として「各線分の長さを順次求め」て
最後にtan(θ+dθ)=(○の長さ)/(□の長さ)
のようにすることです。
No.59315 - 2019/06/18(Tue) 04:31:56
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
もう一つ、お聞きしたいことがあります。
＞＞90°＜θ＜180°のときcosθは負、sinθは正ですから、
三角形の辺の長さは「-cosθ」でなければなりません。
X座標とか一切関係ありません。
に関して、cosθ自体が負であるため、長さ（正の値）で統一して表すため、cosθにマイナスを掛けて−cosθ（正の値）としたのでしょうか？
No.59316 - 2019/06/18(Tue) 04:33:57
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
そのように考えても問題ないですが、
図形的な観点からならば、いきなりθにcosを付けるのではなく、
　θは三角形の外角なので、内角は180°-θであり、
　(長さ)=cos(180°-θ)=-cosθ
と考えた方がふさわしいと思います。
No.59317 - 2019/06/18(Tue) 04:53:58
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
どうもありがとうございます！
ってことは今回の図は負の「値」を使って計算していないため、長さ以外の負の値の入るものを使うと計算がおかしくなるわけでしょうか？


おかげさまで過去に載せた画像においては長さとして置いたやり方の方で正しい式を導くことが出来ました。
ですが、最後に少し問題が発生しました。
もう一つの図からtan(θ—dθ)を導こうとしたのですが誤った式が出てきました。
最初の部分から間違っているかもしれないため、図が正しいかの確認をお願いいたします。
間違っている場合はどうかご指摘をお願いいたします。

この図は普通の座標とは少し違うため、
正直座標A(-cosθ、sinθ)の表し方がこれでいいのか不安です。

この後に元の画像を送ります。反転する必要はないですが、見やすいように反転しました。ですが長さですので符号の変化はしません。
No.59326 - 2019/06/18(Tue) 23:27:26
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
こちらが元ネタの画像です。
No.59327 - 2019/06/18(Tue) 23:28:41
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
図だけ出されてもよくわかりませんが、
明らかに間違っている箇所がいくつもあります。

この図からα=θ+90°とわかりますが、四分円弧の半径が1だとしても
Aから下までの長さはsinθになりませんし、その上の点から下までの長さも
-cosθになりません。
下の-cosθ,sinθ,-tanθもすべて違います。
元ネタの画像でθ=180°-αにしたいのでしたら、θの場所が違います。

αが何ヶ所かにありますが、同じ角度に思えませんし
この図ではα＜45°の場合しか通用しないと思います。

それから、Aを通る直線は何のためにあるのですか？
計算が書かれていませんのでよくわかりませんが、
少なくともこの図からは意味不明な不要な直線に思えます。

あと、次から各頂点や交点にA,B,C,D,…と名前を付けてもらえませんか？
問題点を一つ指摘するにもわかりにくい文しか書けません。
記号があれば、例えば「弧BC」「線分DE」「∠FGH」のように
明確に場所を示せます。
No.59328 - 2019/06/19(Wed) 01:00:34
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
ご指摘ありがとうございます。
今後は記号をつけて図を書かせて頂きます。
＞＞Aから下までの長さはsinθになりませんし、その上の点から下までの長さも
-cosθになりません。
間違っていることはわかりました。できればなぜ間違っているかを理由を説明して頂けないでしょうか？
またその間違いをどうすれば正しい方向に進めるかヒントを頂けないでしょうか？
No.59329 - 2019/06/19(Wed) 01:50:11
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
直線Aは座標A(-cosθ、sinθ)を表すためだけに存在します。
そして半径は同じ1であるため横をsinθ、縦を−cosθと置きました。

＞＞元ネタの画像でθ=180°-αにしたいのでしたら、θの場所が違います。

αが何ヶ所かにありますが、同じ角度に思えませんし
この図ではα＜45°の場合しか通用しないと思います。

すいません描き方が悪かっただけで、θ=180°-αとしたいわけではありません。
αに関しては三角比の計算を行うために存在する角度という出番以外はαは出てこないですし、α＜45°の場合で通用すればよいのです。ちなみに、αが45°以上では図は成り立たないので図が作れないと思うのですが。なのでαが45°より小さいのは仕方ないように思えます。
No.59330 - 2019/06/19(Wed) 02:38:31
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
＞＞すいません描き方が悪かっただけで、θ=180°-αとしたいわけではありません。

できればNo.59326に載せた画像と同じように置きたいです。
画像のようにわからない角度はβ（青）で置きました。
θ=180°−βと置きたいです。


余談で申し訳ないのですが、今回使っている図が長さ（正の値）で解いているため座標などの負の値の入るやり方では解けるが間違った答えしか出ないわけでしょうか？
そのため、反転させる意味はないですが、
反転した場合は座標A(-cosθ、sinθ)の符号も変わりA(cosθ、sinθ)となり、θは−θ、dθは−dθとなります。
—dθを使って正しい計算が出来ないのは計算過程で長さ−θと出てきてしまい負の長さが出てきてしまうためでしょうか？（加法定理を導く図は負の値を考慮して作られていないため。）
画像は角度を反転させると角度πがマイナスになるということを表しているのですが、合っていますか？
No.59331 - 2019/06/19(Wed) 03:07:01
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
> ＞＞Aから下までの長さはsinθになりませんし、その上の点から下までの長さも
> -cosθになりません。
> 間違っていることはわかりました。できればなぜ間違っているかを理由を説明して頂けないでしょうか？

間違っていることがわかったのになぜ間違っているかがわからないとは
どういうことでしょうか。よくわかりません。

図ではθ=α+90°ですから、
α=θ-90°です。
よってAの下のsinθと書いてあるところは
sinα=sin(θ-90°)=-cosθ
その右下の-cosθと書いてあるところは
cosα=cos(θ-90°)=sinθ
となります。


> αに関しては三角比の計算を行うために存在する角度という出番以外は
> αは出てこないですし、α＜45°の場合で通用すればよいのです。

θ=α+90°ですから、α＜45°ならばθ＜135°となり、
90°＜θ＜135°の場合しか示せませんが、それで良いのですか？
135°≦θ＜180°の場合は別に示すということですか？


> ちなみに、αが45°以上では図は成り立たないので図が作れないと思うのですが。
> なのでαが45°より小さいのは仕方ないように思えます。

それは「A」という余計なものを書いているからです。
Aがなければ、45°以上でも問題ありません。
実際、59327の図のαは明らかに45°以上です。


> できればNo.59326に載せた画像と同じように置きたいです。
> 画像のようにわからない角度はβ（青）で置きました。

「β（青）」とは何ですか？「青い文字のβ」という意味ですか？
どの図にも「青い文字のβ」が見当たりませんので、
何のことかわかりません。


> 余談で申し訳ないのですが、今回使っている図が長さ（正の値）で
> 解いているため座標などの負の値の入るやり方では解けるが
> 間違った答えしか出ないわけでしょうか？

おっしゃる意味がよくわかりません。
「間違った答えしか出ない」のであれば「解ける」とは言わないと思いますが。


> 反転した場合は座標A(-cosθ、sinθ)の符号も変わりA(cosθ、sinθ)となり、
> θは−θ、dθは−dθとなります。
> -dθを使って正しい計算が出来ないのは計算過程で長さ−θと出てきてしまい
> 負の長さが出てきてしまうためでしょうか？（加法定理を導く図は負の値を
> 考慮して作られていないため。）
> 画像は角度を反転させると角度πがマイナスになるということを表しているの
> ですが、合っていますか？

今やっていることとは関係ないことです。
図形的に解く場合は負の値は出てきませんし、
角度に向きはありません。
「座標」は関係ありませんので、反転させても単に図が反転されるだけで、
角度が負になったりもしませんし、証明には一切影響しません。
# 3つの角が30°、60°、90°の直角三角形を反転しても
# -30°、-60°、-90°になったりしませんよね？
「-θ」とか「-dθ」とか無意味なこだわりはやめてください。
もし「図形的に解く場合は負の角度は出てこない」ということが
理解できないのでしたら、もうあきらめた方がいいです。
No.59332 - 2019/06/19(Wed) 04:19:51
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
ややこしくしてしまいすいません。
今回のtan(θ+dθ)の式は図形的に求めたため負の値は使わないので、マイナスのついた角度や長さを使わないとわかりました。

新しく書いた図はθ=180°-αと出来ていると思うのですが見て頂けないでしょうか？
また、この画像の図からtan(θ-dθ)の式が導けたのですが、過程の式と図は合っていますか？
No.59333 - 2019/06/19(Wed) 09:43:12
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
もう一つ、同じ図においてtan(θ+dθ)を作ってみました。
ですが、tan(θ+dθ)が完成する過程で少し怪しい式になりました。
過程の式と図形を載せましたので、途中まで合っているかどうか確認して頂けないでしょうか？
お手数おかけしますがどうかよろしくお願いします。
No.59334 - 2019/06/19(Wed) 10:11:11
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
> 新しく書いた図はθ=180°-αと出来ていると思うのですが見て頂けないでしょうか？

出来ていません。相変わらずθ=α+90°です。
∠FOC=∠ECO=αですから、θ=∠FOC+90°=α+90°となっています。
「α」という角度は証明のどこにも使われていませんので
「α」を消せば問題ないですが、
もしθ=180°-αとなるαを書くのであれば
α=∠COE=∠DCGです。


> また、この画像の図からtan(θ-dθ)の式が導けたのですが、
> 過程の式と図は合っていますか？

今回は(ほぼ)合っていました。
突然正解まで行ったのでビックリです。

あと、過程の式の本質は合っていますが、見にくいです。
例えば図の中でアは線分ACの長さのように見えますが、
式を見ると線分OCの長さですよね？
普通は例えば以下のように書きます。

OE=1とすると
CE=tan∠COE=tan(180°-θ)=-tanθ
OE/OC=cos∠COE=cos(180°-θ)=-cosθからOC=OE/(-cosθ)=1/(-cosθ)
CD：OC≒AB：OA から CD≒OC・AB/OA=(-1/cosθ)・dθ/1=-dθ/cosθ
※これはdθが小さいほど値が近くなる近似ですから、「＝」にしてはいけません。
CG/CD=OE/OC=-cosθからCG=CD・(-cosθ)≒dθ
GD=CG・tan∠DCG=CG・tan∠COE=CG・CE≒-tanθdθ
DF=1-GD≒1-(-tanθdθ)=1+tanθdθ
OF=CE+CG≒-tanθ+dθ
よって
-tan(θ-dθ)=OF/DF≒(-tanθ+dθ)/(1+tanθdθ)なので
tan(θ-dθ)≒(tanθ-dθ)/(1+tanθdθ)
（「≒」はdθが小さいほど値が近くなる近似）


> もう一つ、同じ図においてtan(θ+dθ)を作ってみました。

こちらは正しくありません。
EF=OE・tan∠FOE=tan(180°-(θ+dθ))=-tan(θ+dθ)です。
59333の図からθの位置を変えて各線分の長さを計算し直せば
うまくいくと思います。
No.59335 - 2019/06/19(Wed) 10:25:28
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
確認ありがとうございます。
tan(θ+dθ)においては図が正しくないとのことですが、
90°＜θ＜180°となるようにならなければならないのでθの位置は画像のような図形を計算していけばいいでしょうか？
EF=OE・tan∠FOE=tan(180°-(θ+dθ))となるように角度θ、dθ、αを描いたのですが、自信がありません。

ちなみに、画像の図に関してですが、
90°＜θ＜180°から展開させて
180°-（180°+dθ）＜180°—（θ+dθ）＜180°—（90°+dθ）と出来るんで、180°—（θ+dθ）=αより
180°-（180°+dθ）＜α＜180°—（90°+dθ）となりますが、dθは0になるので、0＜α＜90°となると考えてよいのでしょうか？



最後に「θ=α+90°ですから、α＜45°ならばθ＜135°となり、
90°＜θ＜135°の場合しか示せませんが、それで良いのですか？
135°≦θ＜180°の場合は別に示すということですか？」
に関してなのですが、90°＜θ＜135°のθで図形を作った場合、図は画像のような図とは異なるため、もちろん式も違うと考えているのですが、正しいでしょうか？
過去のいろいろな経験から違う図になると思うため違う式になると私は考えています。
No.59338 - 2019/06/19(Wed) 17:18:02
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
> tan(θ+dθ)においては図が正しくないとのことですが、
> 90°＜θ＜180°となるようにならなければならないのでθの位置は
> 画像のような図形を計算していけばいいでしょうか？

違います。
少なくともα+θ=180°でないと（この図では）うまくいきません。

> 最後に「θ=α+90°ですから、α＜45°ならばθ＜135°となり、
> 90°＜θ＜135°の場合しか示せませんが、それで良いのですか？
> 135°≦θ＜180°の場合は別に示すということですか？」
> に関してなのですが、90°＜θ＜135°のθで図形を作った場合、図は画像のような
> 図とは異なるため、もちろん式も違うと考えているのですが、正しいでしょうか？
> 過去のいろいろな経験から違う図になると思うため違う式になると私は考えています。

この図ならα＜45°という制限がありませんので、上記のことは関係ありません。
90°＜θ＜180°全体に対して有効な式になります。
（ただし、αとθの位置を正しくすれば）
α＜45°という制限が生じるのは、点Aをとっている59326の図だけです。

私は「59333の図からθの位置を変える」と書きましたよね。
なぜαの位置を変えてしまうのですか？
αの位置を変える必要があるのはtan(θ-dθ)の場合であって
tan(θ+dθ)のときは59333の通りでないとうまくありません。
tan(θ-dθ)のときの図は、59338の図で（αを変えずに）
θをθ+α=180°となるようにとったものになります。
tan(θ+dθ)の場合は59333と同じところにαをとり、そして
θをθ+α=180°となるようにとった図が必要です。
No.59339 - 2019/06/19(Wed) 18:02:17
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
返信ありがとうございます！
現在図を作っている最中なのですが、
「tan(θ+dθ)の場合は59333と同じところにαをとり、そして
θをθ+α=180°となるようにとった図が必要です。」に関して、なぜtan(θ—dθ)を導く時はtan(θ+dθ)を導く時とは違い、角度αの場所を変える必要があるのでしょうか？
tan(θ+dθ)もtan(θ—dθ)と同じように角度αをとれば90°＜θ＜180°全体に対して有効な式になるのではと思いますが、多分違うと思うのですが、なぜ違うのかがわかりません。
No.59363 - 2019/06/20(Thu) 17:10:57
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
ちなみに、tan(θ+dθ)を導く図はこちらで正しいでしょうか？
今回はちゃんとθ+α=180°となっております！
そして、今回の式はマイナスの長さや角度を考慮していないためただのθを入れているので図形のθは+θですが、これで正しいのでしょうか？
確認お願いいたします。
No.59366 - 2019/06/20(Thu) 18:29:04
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
今更で申し訳ないのですが、なぜ90°＜θ＜180°の時、
-cosθ（正）になるのかわかりません。

個人的には-cosθが正になるのは以下の理由だと思うのですが、以下の考えでもいいでしょうか？
今回は座標を使うとおかしくなるので、図形により導かれたcos(180°-θ)=-cosθを使い、
例えばθ=135°の時cosθは負の値ですが符号により-cosθは正の値になります。cos(180°-θ)はcos45°なので正の値になります。
と導けるため、90°＜θ＜180°の時、今回と同じように座標ではなく図形により導かれたcos(180°-θ)=-cosθにより、-cosθは正の値を表せて、今回の問題も図形で解いているため、この方法（座標ではなく図形により導かれたcos(180°-θ)=-cosθ）を使ったということだと思いますが、どうかよろしくお願いします。
No.59375 - 2019/06/20(Thu) 22:13:05
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
> 確認お願いいたします。

図は59366でOKです。正しい式が導けますよね？
でも、少しでも同類の問題が解けるようになるためには、
「確認お願いいたします」と書く前にまずこの図でうまくいくかどうかを
自分で計算してみることが重要です。
自分の手を動かさずに常に質問していると、数学の力はいつまでたってもつきません。

> なぜtan(θ-dθ)を導く時はtan(θ+dθ)を導く時とは違い、
> 角度αの場所を変える必要があるのでしょうか？

tan(θ+dθ)を導く時はθとdθが重なっていてはまずいので、59366のようになります。
tan(θ-dθ)を導く時はθとdθが重なっていなければいけませんので、59333のようになります。

線分の構成が同じ図で解くためには(59333の記号を使って)∠COEか∠OCEのどちらかが
αでなければならず、さらに∠CODがdθでなければなりません。
θ+α=180°となるようにしますので、
tan(θ+dθ)の場合→θとdθが重なっていない→αとdθが重なっている
tan(θ-dθ)の場合→θとdθが重なっている→αとdθが重なっていない
となり、αの位置は自動的に決まります。

私は文章読解力がありませんので、59375の
「以下の考え」の内容が読み取れませんでした。
No.59381 - 2019/06/20(Thu) 23:34:44
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
どうもありがとうございます！
＞＞私は文章読解力がありませんので、59375の
「以下の考え」の内容が読み取れませんでした。
私の文章の書き方が悪すぎるためです。質問の練習をします。

簡単に申しますと、90°＜θ＜180°において、
なぜ座標ではなく長さの場合は-cosθとなるのか疑問です。
以下は長さが-cosθとなることに関する私なりの解釈の方法です。
今回のtan(θ+dθ)の式は座標は関係ない図から導かれたため、図形により導かれたcos(180°-θ)=-cosθの式が利用出来るためθが90°＜θ＜180°の時-cosθと導かれたのでしょうか？
No.59382 - 2019/06/21(Fri) 00:49:03
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
「座標は関係ない図から導かれた」ことから「図形により導かれたcos(180°-θ)=-cosθの式が利用出来る」
という意味でしょうか。
それなら、
・「図形」が何を指しているかとcosθの定義の仕方によるかも知れませんが、
　「cos(180°-θ)=-cosθ」は図形からは導けないと思います。
・「座標と関係ない図から導かれた」かどうかと
　「cos(180°-θ)=-cosθが利用できる」かどうかは
　関係ないと思います。
つまり、
座標と関係ある図か関係ない図かには全く関係なく、
さらにcos(180°-θ)=-cosθがどのように導かれたかとも関係なく、
三角関数の基本性質であるcos(180°-θ)=-cosθはいつでも利用できます。
No.59383 - 2019/06/21(Fri) 01:06:21
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
ありがとうございます。
なるほど、今回は図形で解くので負の値があるとおかしな計算になる。なので座標上であれど、座標上で工夫して正の値の長さや正の値の角度のみで図形を作ることで、今回のような問題が解けたと言えるのかもしれません。
色々本当にありがとうございました。
No.59384 - 2019/06/21(Fri) 05:35:12
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
好奇心で気になったのですが、
>>θ=α+90°ですから、α＜45°ならばθ＜135°となり、
90°＜θ＜135°の場合しか示せませんが、それで良いのですか？
135°≦θ＜180°の場合
の135°≦θ＜180°の場合は別に図を描くのでしょうか？
作るとしたらどのように作るのでしょうか？
もし、59326の図から作れるならば作り方を教えてほしいです！
No.59387 - 2019/06/21(Fri) 12:07:48
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
ちなみに、tan (θ+dθ)を導く図において、θでのA座標は(-sinθ, cosθ)で大丈夫でしょうか？
うまく計算はできませんでした。
なので、図が正しいか確認お願いします。
No.59388 - 2019/06/21(Fri) 12:46:38
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
90°＜θ＜135°となるのは59326の図で
無意味な点Aがdθに対する弧より下にとられているからであって、
点Aをdθに対する弧より上にとれば135°＜θ＜180°になります。
また、点Aを削除すれば90°＜θ＜180°になります。

# 少し考えればわかることですから、
# 好奇心を持ったのなら人に聞くよりも先に
# 自分で考えるようにした方がいいです。
# 何でもかんでも人に聞いてると、進歩しませんよ。
No.59389 - 2019/06/21(Fri) 12:50:25
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
> ちなみに、tan (θ+dθ)を導く図において、θでのA座標は(-sinθ, cosθ)で大丈夫でしょうか？

なぜ(-sinθ, cosθ)と思ったのですか？
No.59390 - 2019/06/21(Fri) 12:57:47
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
返信ありがとうございます。
画像のように、置けたためです。
No.59391 - 2019/06/21(Fri) 13:11:12
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
大事なことを忘れていました。
負の値が入るとダメなため図は正しいですが、
式を求めるのには使えません。
書き直します。
θは90°<θ<180°を取り、かつ正の値である角度を取ります。
No.59392 - 2019/06/21(Fri) 13:32:48
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
お待たせしました。
こちらの図ならば条件を満たしており正しい式を導けました。
図は正しいでしょうか？
No.59393 - 2019/06/21(Fri) 13:37:00
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
α+dθ+θ=180°に見えますが、それならば正しくありません。
それと、→がx軸、↑がy軸でAが第1象限にあることを
想定されているなら、A(cosθ,sinθ)も正しくありません。
No.59394 - 2019/06/21(Fri) 13:46:37
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
見にくい図ですいません。
書き直しました。
こちらの図です。
No.59395 - 2019/06/21(Fri) 13:50:43
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
→がx軸、↑がy軸でAが第1象限にあることを想定されているなら、
AはA(cosθ,sinθ)でもA(sinθ,cosθ)でも正しくありません。
θに具体的な値（たとえば135°）を入れて
電卓でAの座標がどうなるか計算してみて下さい。
No.59396 - 2019/06/21(Fri) 13:54:00
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
＞＞θに具体的な値（たとえば135°）を入れて
電卓でAの座標がどうなるか計算してみて下さい。
sin135°は1/√2、cos135°は-1/√2と出ました。
なのでA(sinθ,cosθ)は間違いであるとわかりました。

ごめんなさいわかりません。どうかヒントを頂けないでしょうか。
No.59397 - 2019/06/21(Fri) 16:59:17
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
単位円上の点の座標は
「(1,0)からの反時計回りの回転角をtとしたとき(cost,sint)」
ですから、Aの座標は(cosα,sinα)です。
これは同じことを今までに何度も書いていますが、覚えられませんか？

でも、tan(θ+dθ)もtan(θ-dθ)も解決しているのに
なぜ座標を考え始めたのですか？
No.59398 - 2019/06/21(Fri) 17:27:42
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
すいません。
ってことはAの座標は(cosα,sinα)より、
-cos(180°-θ)=cosα、sin(180°-θ)=sinαということでしょうか？

＞＞これは同じことを今までに何度も書いていますが、覚えられませんか？
何か勘違いをしてAの座標は(cosθ,sinθ)と思い込んでいました。

＞＞でも、tan(θ+dθ)もtan(θ-dθ)も解決している
実はtan(θ+dθ)は図形だけで式自体は出来ていません。
というのも90°<θ<180°のθの範囲でcosθとsinθの座標が作れていないためtan(θ+dθ)の式が作れていません。
なので今現在作れている式はtan(θ-dθ)のみです。
90°<θ<180°のθの範囲で座標cosθ（正の値）とsinθ（正の値）となるようなtan(θ+dθ)の図形をどこに作ればよいのかわからずにいます。
No.59401 - 2019/06/21(Fri) 19:07:35
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
> ってことはAの座標は(cosα,sinα)より、
> -cos(180°-θ)=cosα、sin(180°-θ)=sinαということでしょうか？

違います。
180°-θ=αなのですから
-cos(180°-θ)=cosα は
-cosα=cosα と同じ意味です。
これはおかしいですね。
cosα=cos(180°-θ)=-cosθ
sinα=sin(180°-θ)=sinθ
ということです。


> 90°<θ<180°のθの範囲で座標cosθ（正の値）とsinθ（正の値）となるようなtan(θ+dθ)の図形をどこに作ればよいのかわからずにいます。

59366の図が正しいですから、
それぞれの長さを順に埋めていけば式が作れます。
No.59402 - 2019/06/21(Fri) 19:54:54
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
ありがとうございます。
なるほど、180°行ってからθだけ左に行くため-θとなり、
180°-θと言うことですね！
なので、式はcos(180°-θ)=-cosθとsin(180°-θ)=sinθと表せて、
-cosθと sinθは正の値を表しているとわかりました。
cosα=cos(180°-θ)=-cosθ
sinα=sin(180°-θ)=sinθ

後は展開して見ます。どうもありがとうございます。
No.59405 - 2019/06/22(Sat) 09:18:39
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
よくよく考えたら
90°<θ<180°は-180°<-θ<-90とできるので、
-θは使えるとわかりました。
-θは- dθとは違い、負の値を導くわけではないので、大丈夫です！
No.59406 - 2019/06/22(Sat) 12:43:28
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
図形上に「負の角度」はありませんので、
「図形的に」-180°〜-90°の角度を扱うことはできません。
（もし解けても、「図形的に」解いているとは言えないと思います）
No.59407 - 2019/06/22(Sat) 13:56:33
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
返信ありがとうございます！

＞＞-cosα=cosα と同じ意味です。
これはおかしいですね。
cosα=cos(180°-θ)=-cosθ

cos(180°-θ)=-cosθと
cos(-θ)=cosθの式は同じものを表すため、この時だけ
-cosθ=cosθが成り立つ、そのため
座標(—cosθ,sinθ)を(cosθ,sinθ)と出来たのですか？

あの後自力で解いてみたのですが、画像のような図と式になり正しい式が導けませんでした。
少し汚くてすいません。

どうぞよろしくお願いいたします。
No.59419 - 2019/06/23(Sun) 00:30:14
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
> cos(180°-θ)=-cosθと
> cos(-θ)=cosθの式は同じものを表すため、
同じものを表していません。

> この時だけ-cosθ=cosθが成り立つ、
成り立ちません。

> そのため座標(-cosθ,sinθ)を(cosθ,sinθ)と出来たのですか？
何の話ですか？
-cosθ≠cosθなので
(-cosθ,sinθ)を(cosθ,sinθ)にすることは出来ません。


> あの後自力で解いてみたのですが、画像のような図と式になり正しい式が導けませんでした。
まず点Bから下ろした垂線(点線)の長さをsinθ、
その垂線の足から原点までの長さを-cosθとしているのは誤りです。
θはx軸の負の方向からOHまでですから、
sinθは点Cからx軸に下した垂線の長さ、
-cosθはその垂線の足から原点までの長さです。

最初の式の1/cosθはどこから出てきたのですか？
まずcosθは負なので「1/cosθ」が長さになることはないですし、
-1/cosθに変えてもこれはOHの長さではありません。
また、DHは-tanθではありません。
まずはその辺から直して下さい。
No.59420 - 2019/06/23(Sun) 00:48:41
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
返信ありがとうございます。
もう一度書き直します。
座標はNo59366の図より、
cosα=cos(180°-θ)=-cosθ
sinα=sin(180°-θ)=sinθの式より、
(- cosθ, sinθ)で正しいですよね？

また、座標は(- cosθ, sinθ)のはずで、この座標の- cosθと sinθはNo.59366の図より第一象限に存在するため正の値ですよね？
No.59427 - 2019/06/23(Sun) 12:52:35
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
すいません。図と文章を正しく理解できていませんでした。
返信は大丈夫です。
もう一度書き直します。
ですが、一つだけ聞きたいことがあります。
正しい座標(- cosθ, sinθ)からtan(θ+dθ)の式は本当に導けるのでしょうか？

ちなみに、
「180°-θ=αなのですから
-cos(180°-θ)=cosα は
-cosα=cosα と同じ意味です。」
という事で、原理はよくわかりませんが cosθ=- cosθとなぜかおいてしまいました。計算して、間違いだとわかりました。
No.59428 - 2019/06/23(Sun) 13:09:39
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
> 正しい座標(- cosθ, sinθ)からtan(θ+dθ)の式は本当に導けるのでしょうか？

確かに導けます。
私は実際にやってみました。
No.59434 - 2019/06/23(Sun) 15:44:23
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
ありがとうございます。
図と座標と式の過程は正しいでしょうか？
どうか確認お願いします。
No.59438 - 2019/06/23(Sun) 19:26:40
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
すべて正しいです。よってそのままでも
式変形でtan(θ+dθ)の式を導けます。
ただし、以下のようにした方が
計算も楽ですしわかりやすくなります。
(1)
tanの式を求めたいので
DG=-cosθ/sinθ はsinθ/cosθ=tanθを使って
DG=-cosθ/sinθ=-1/tanθ とするか、もしくは
DG：OD=1：-tanθからDG=-1/tanθとした方がいいです。
(2)
√{1+(cosθ)^2/(sinθ)^2}は
√{1+(cosθ)^2/(sinθ)^2}
=√{{(sinθ)^2+(cosθ)^2}/(sinθ)^2}
=√{1/(sinθ)^2}
=1/sinθ　（∵sinθ＞0）
と簡略化するか、もしくは
OG：OD=1：sinθから
OG=1/sinθ
のように求めた方がいいです。
（他は直角三角形の辺の比で求めているのですから、
　ここも三平方の定理を使わず辺の比で求めた方がいいです。）
No.59441 - 2019/06/23(Sun) 20:31:55
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
返信遅くなり申し訳ありません。
ここまで本当にどうもありがとうございます！
私は出来の悪い人間ですが、どうか今後ともよろしくお願いいたします。
本当にありがとうございました。
No.59467 - 2019/06/25(Tue) 15:31:32
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
らすかるさん度々すいません。
こちらの画像を反転させた物からtan (θ+dθ)=の式が導けると思い解いてみたのですが、なぜこの画像からはtan (θ+dθ)の式は導けないのでしょうか？
No.59477 - 2019/06/26(Wed) 17:55:25
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
送った図からtan (θ+dθ)が導けないのは図が間違っているためだと思うのですが、あっていますか？
No.59482 - 2019/06/26(Wed) 20:54:16
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
合っていません。上のαの位置が正しくありません。
上でαと書いてある交点は右側がαで左側はαではありません。
また上の黒塗りもαです。
59438の図をきちんと反転させれば、各線分の長さは
反転前と全く同じになり、tan(θ+dθ)が求まります。
59438の図を左右反転すれば、αの位置がわかりやすいと思います。
No.59489 - 2019/06/27(Thu) 00:18:54
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
ありがとうございます！
No.59482で載せた画像の図のαを正しくした場合、
その図からtan(θ+dθ)を求めようとしたのですが、
座標Aとその座標Aにより斜辺しか求められず他の各線分の長さはわかりませんでした。
ということはNo.59438の図からでしかtan(θ+dθ)を求めることができないということでしょうか？
No.59500 - 2019/06/27(Thu) 10:38:22
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
図を反転しても各線分の長さは変わらず、tan(θ+dθ)も全く同じ結果が得られます。
線分の長さがわからないのでしたら、59438の図の中に
各線分の長さを全て書き込んでから左右反転して下さい。
文字が反転して見にくいですが、それを除けば全く正しい図になります。

# 左右を反転しても論理は全く変わらないのに、
# なぜ図の左右を反転しただけで線分の長さがわからなくなるのか、
# ちょっと私には理解できません。
# もしかして、「反転すると角度がマイナスになる」などという
# 妙な先入観が抜けていないのでしょうか。
# 「角度や線分に向きはありませんので、図を反転しても
# 基準の長さ「1」やθ、dθ、αの値も全く変わらず、
# 線分の長さや式の符号等が変わるようなことは一切ありません。」
No.59502 - 2019/06/27(Thu) 15:36:34
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
返信遅くなりました。
理解できました。どうもありがとうございます！
ここまで本当にありがとうございます。
らすかるさんのような親切な方に教えて頂けて良かったです。
ちなみに、画像のような一般角（Bの部分）は−45°＜θ＜0°であり角度の（固定された）「範囲」を表し、動角（Aの部分）は1°以上44°以下の角度の「大きさ」を表しているということでしょうか？
No.59527 - 2019/06/29(Sat) 08:02:59
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
今回の「tan(θ±dθ)を図形的に解く」ことと関係ない質問でしたら、
きりがありませんのでこれにて終了とさせて頂きたいと思います。
No.59532 - 2019/06/29(Sat) 10:52:56
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
わかりました。
どうもありがとうございました。
No.59539 - 2019/06/29(Sat) 18:39:48
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
らすかるさん、最後に質問があります。

今回の図形の角度θに関しての質問なのですが、角度は範囲を表しています。
そのθの表す範囲は90°＜θ＜180°です。
ですが、その時のθの取る座標Aは(cosθ、sinθ)です。
cosθが負の値であるため図形には使えません。
そこで画像のように左側にθを作りそこから右側に正の座標(−cosθ、sinθ)を得たことで図形を作りtan(θ±dθ)の式を作っていきました。
ここで問題なのですが、θの表す範囲は90°＜θ＜180°なのに、なぜ左側にθを作れたのでしょうか？

個人的には左側にθを範囲とは違い「大きさ」として使ってもcos(180°−θ)＝−cosθ、sin(180°−θ)＝sinθと正しい式が得られるので大きさとしてθを使うならば範囲外でも良いと考えています。
多分明確な理由ではないですが。
θの表す範囲は90°＜θ＜180°なので90°＜θ＜180°内でしか角度θを作れないと私は思っています。なので90°＜θ＜180°でない角度の領域で、今回でいう左側にθが作れることに疑問があります。

どうかよろしくお願いします。
No.59578 - 2019/07/01(Mon) 02:10:42
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / らすかる
私がいままでさんざん説明しているのに理解して貰えないようですから、
これ以上私が説明しても同じ質問が繰り返されるだけで、
ただの徒労でしかありません。
私の今までの解答を読み直してもわからなければ、
↓こちらの回答者に質問して下さい。
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=59555
No.59579 - 2019/07/01(Mon) 05:50:11
☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。に続くスレです。 / マーク42
毎度毎度すいません。
あの後らすかるさんの回答をじっくり読み直し理解できました。
不快にさせてしまい本当にごめんなさい。
今後は基礎を勉強し、同じことを繰り返さぬよう勉強します。
No.59656 - 2019/07/04(Thu) 16:52:14