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記事No.59483に関するスレッドです
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値域の問題
/ 摩耶
引用
文系の範囲内で鮮やかに解けますかね
No.59483 - 2019/06/26(Wed) 21:33:50
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Re: 値域の問題
/ ＩＴ
引用
文系とは 高校数学で数３を使わずにということでしょうか？ そういう出題範囲ですか？
分母分子をx^3 で割って t=y/x とおくと
0<t<1 で z(t)=(1+t)^3/(-4-9t-3t^2+t^3)
分数関数の微分を使わずzの値域を求められればいいですが難しいかも。（らすかるさんが やっておられますね）
微分を使えば
0<t<1 で
ｚ'(t)=-3((t+1)^2)(2t^2+4t+1)/(t^3-3t^2-9t-4)^2 ＜0 なので狭義単調減少
z(t)は連続関数なので 値域は (z(1),z(0))=(-8/15,-1/4)
No.59484 - 2019/06/26(Wed) 22:11:54
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Re: 値域の問題
/ らすかる
引用
0＜t＜1 で z=(1+t)^3/(-4-9t-3t^2+t^3)
の続き
t=u-1とすると
1＜u＜2 で z=u^3/(u^3-6u^2+1)
1/z=(u^3-6u^2+1)/u^3=1-6/u+1/u^3
1/u=vとおくと
1-6/u+1/u^3=v^3-6v+1
1＜u＜2から1/2＜v＜1
f(v)=v^3-6v+1とおくと
1/2＜a＜b＜1のとき
f(b)-f(a)=(b^3-6b+1)-(a^3-6a+1)
=(b^3-a^3)-6(b-a)
=(b-a)(b^2+ab+a^2-6)
＜0 （∵b^2＜1,ab＜1,a^2＜1からb^2+ab+a^2＜3）
なのでf(v)は1/2＜v＜1で単調減少し、
f(1/2)=-15/8,f(1)=-4なので1/2＜v＜1に対する
f(v)の値域は-4＜f(v)＜-15/8となる。
従って1/zの値域は-4＜1/z＜-15/8なので
zの値域は-8/15＜z＜-1/4。
No.59494 - 2019/06/27(Thu) 02:00:06
