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記事No.59591に関するスレッドです
★ (No Subject) / まるお
これもお願いいたします
No.59591 - 2019/07/01(Mon) 21:17:33
☆ Re: / nakaiti
(1) (a,b)=(0,-1) とすればよい。
(2) a,b が単位円周上にあるので (a,b)=(cos(t),sin(t)) と置くと方程式は

(cx^3-cx)cos(t)+(1-2x^2)sin(t)=-x^4

となる。左辺に三角関数の合成を用いると

√((cx^3-cx)^2+(1-2x^2)^2)sin(t+θ)=-x^4

となる。これを満たす t が存在すればよく、そのための x の条件は

√((cx^3-cx)^2+(1-2x^2)^2)≧x^4

である。この両辺は正なのでこの不等式は両辺を二乗した不等式

(cx^3-cx)^2+(1-2x^2)^2≧x^8

と同値である。これを変形すると

(cx^3-cx)^2+(1-2x^2)^2≧x^8
(cx^3-cx)^2≧x^8-(1-2x^2)^2
c^2x^2(x^2-1)≧(x^4-2x^2+1)(x^4+2x^2-1)
c^2x^2(x^2-1)≧(x^2-1)^2(x^4+2x^2-1)

である。x=±1のときは明らかにこの不等式が成り立つ。x≠±1とすると両辺 (x^2-1)^2 で割ることができて、不等式は

c^2x^2≧x^4+2x^2-1
x^4+(2-c^2)x^2-1≦0

となる。これを x^2 の二次不等式と考えて解くと

0≦x^2≦(c^2-2+√(c^4-4c^2+8))/2

となるので

-(c^2-2+√(c^4-4c^2+8))/2≦x≦(c^2-2+√(c^4-4c^2+8))/2

となる。これと x=±1 を合わせたものが x の存在範囲である。
No.59625 - 2019/07/03(Wed) 08:24:45
☆ Re: / まるお
「x=±1のときは明らかにこの不等式が成り立つ。x≠±1とすると両辺 (x^2-1)^2 で割ることができて」の部分なんですが

これは左辺(x^2-1)だけで二乗がないのに割れないと思うのですが...

しかも(x^2-1)で両辺を割ったとしてxの6次方程式になるので解けませんよね？

どうすればいいんですか教えてください
No.59644 - 2019/07/03(Wed) 22:41:40
☆ Re: / nakaiti
> 「x=±1のときは明らかにこの不等式が成り立つ。x≠±1とすると両辺 (x^2-1)^2 で割ることができて」の部分なんですが
>
> これは左辺(x^2-1)だけで二乗がないのに割れないと思うのですが...
>

ちゃんと計算してみてもらえればわかると思いますがただの打ち間違いです。ちゃんと両辺に (x^2-1)^2 が現れて割ることができます。
No.59652 - 2019/07/04(Thu) 07:06:42