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記事No.59631に関するスレッドです
★ 2014九州大後期５ / リズ
写真の問題の(1)で、不等式を
f’(a)(Xn-a)<f’(Xn)(Xn-Xn+1)<f’(Xn)(Xn-a)
と変形しグラフで辺の長さの大小から不等式が成立しているのはわかったのですが、平均値の定理を用いて証明する方法がわかりません。
どなたか教えていただけるとありがたいです。
No.59631 - 2019/07/03(Wed) 18:59:22
☆ Re: 2014九州大後期５ / X
条件から平均値の定理により
{f(x[n])-f(a)}/(x[n]-a)=f'(c) (A)
a＜c＜x[n] (B)
なるcが存在します。
ここでf"(x)＞0よりf'(x)は単調増加ゆえ
(B)より
f'(a)＜f'(c)＜f(x[n])
これに(A)を代入して
f'(a)＜{f(x[n])-f(a)}/(x[n]-a)＜f(x[n]) (A)
更に{x[n]}についての条件から
f'(x[n])(x[n+1]-x[n])+f(x[n])=0
∴f(x[n])=f'(x[n])(x[n]-x[n+1]) (C)
(C)を(A)に代入して
f'(a)＜{f'(x[n])(x[n]-x[n+1])-f(a)}/(x[n]-a)＜f(x[n])
ところで方程式f(x)=0の解の一つはx=aゆえ
f(a)=0
∴証明すべき不等式は成立します。
No.59637 - 2019/07/03(Wed) 20:28:16