[ 掲示板に戻る ]
記事No.59666に関するスレッドです
★ 数列について / めめ
この問題の解説文で、「「等比数列の公比が正の場合は、等差数列のグラフと等比数列のグラフは多くとも2点でしか交わらない。よって公比が正である場合はあり得ない」」とあったのですが、、こんな短い文言だけで、公比が正はあり得ないとまで断定できるのはなぜですか？
No.59655 - 2019/07/04(Thu) 14:26:42
☆ Re: 数列について / nakaiti
> 「「等比数列の公比が正の場合は、等差数列のグラフと等比数列のグラフは多くとも2点でしか交わらない。よって公比が正である場合はあり得ない」」

等比数列のグラフというのは指数関数のグラフのことですね。なぜなら等比数列の一般項 ar^(n-1) の n の部分を x に置き換えて x は実数上を連続に動くとすれば
ar^(x-1)=ar^x/r
と底が r の指数関数の形が現れます。(ただしこのような関数が考えられるのは r>0 かつ r≠1 のときだけです)

一方、等差数列のグラフというのは直線のことですね。これも同様に一般項に現れる n を実数上を動く x に置き換えて
d(x-1)+a=dx+(a-d)
という関数の形にすればわかります。

さて、答えの等比数列の公比が正だとすると上のように指数関数 y=ar^x/rが得られます。また同じく等差数列から直線の式、すなわち一次関数 y=ax+(d-a)が得られます。問題通りならばこの二つの関数のグラフは(x座標ではなく)y座標が 4,p,q となるような交点を持ちます。つまり交点が３つ以上あることがわかります。しかし、指数関数のグラフは上または下に凸なので直線とは高々２つしか交点をもちません。これは矛盾なので等比数列の公比が正であることがわかります。

以上が私なりの解説の解釈ですが、「等比数列のグラフ」や「等差数列のグラフ」という言葉は違和感があるのでこの解説は一考の余地がありそうですね。記述の問題にこの解説の文章をそのまま書くのはやめたほうがいいと私は思います。
No.59657 - 2019/07/04(Thu) 17:09:15
☆ Re: 数列について / めめ
解答ありがとうございます。公比が正なら、y=4 p q 、で交わる、と断定できるのは何故なのでしょう…公比が負ならそうならないのですか？
No.59658 - 2019/07/04(Thu) 17:27:24
☆ Re: 数列について / めめ
例えば、、公比が正で、y=ar^x/r が、x=1 2 3 で、y=p q 4 となれば、p q 4はこの順で大きい、、、という事になり、、、等差数列の式としては、x=1 2 3 で、y=p q 4 か、y=4 q p となる計２つが得られそうなのですが、後者であれば交点は１つだけになりませんか…？
等比数列の公比が正で、等差数列の交差が負という事は起こり得ないのですか？
No.59659 - 2019/07/04(Thu) 17:37:07
☆ Re: 数列について / ＩＴ
質問の直接の回答ではないですが、この問題の１対１の演習の解説解答は、あまり分かり易くないと思います。

下記のような解答でどうでしょうか？

等差中項で場合分けする
{p,q,4}＝{a,ar,ar^2}(a≠0,r≠1,0)とおけてa,ar,ar^2を並べ替えると等差数列になる
・等差中項がaのとき,ar+ar^2=2a よって r^2+r-2=0, (r+2)(r-1)＝0 ,r=-2
・等差中項がarのとき,a+ar^2=2ar よって r^2-2r+1=0, (r-1)^2＝0 ,解なし
・等差中項がar^2のとき,a+ar=2ar^2 よって 2r^2-r-1=0, (2r+1)(r-1)＝0 ,r=-1/2
以上からr=-2,-1/2

順番を逆転すると公比-1/2の場合は公比-2と同じになるので
公比-2の場合を考えればよい
4=a のとき 等比数列は 4,-8,16 よって(p,q)=(-8,16)
4=ar のとき 等比数列は-2, 4,-8 よって(p,q)=(-8,-2)
4=ar^2のとき 等比数列は 1,-2, 4 よって(p,q)=(-2, 1)
No.59662 - 2019/07/04(Thu) 19:47:11
☆ Re: 数列について / nakaiti
確かにもう少し議論がいるようですね。

まず公比が負の場合ですが、底が負の指数関数は(少なくとも実数上では)定義できないのでそもそもグラフを考えることができません。

次に以下の件についてですが

>公比が正で、y=ar^x/r が、x=1 2 3 で、y=p q 4 となれ
>ば、p q 4はこの順で大きい、、、という事になり、、、等
>差数列の式としては、x=1 2 3 で、y=p q 4 か、y=4 q p と
>なる計２つが得られそうなのですが、後者であれば交点は１>つだけになりませんか…？

p,q,4 が等差数列なら 4,q,p も等差数列になりますね。なので結局3つの交点を持つグラフが得られてしまいます。

繰り返しになりますが、この解説はあまりよくないと思いますので、ITさんの解答を参考にすることをお勧めします。
No.59663 - 2019/07/04(Thu) 20:00:18
☆ Re: 数列について / ＩＴ
以前この解説について　私が質問していますので　参考までにお知らせします。

http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=pickup&no=24865
No.59664 - 2019/07/04(Thu) 20:41:55
☆ Re: 数列について / めめ
お二方、解答ありがとうございます。リンク先のこの文言の意味がイマイチ掴めないのですが、これはどういう意味なのでしょうか…？
No.59666 - 2019/07/04(Thu) 21:34:55
☆ Re: 数列について / ＩＴ
例えば、(1,2,3)の 並べ替えは（そのままも含めて）６通りあって
正順は(1,2,3)　逆順は　(3,2,1)
それ以外は、(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(1,3,2) です｡
No.59667 - 2019/07/04(Thu) 21:55:05
☆ Re: 数列について / めめ
すいません、、いま完全に理解しました。長らくありがとうございます…！
No.59668 - 2019/07/04(Thu) 22:14:59