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記事No.59721に関するスレッドです
★ 曲率に関して。 / マーク42
曲率は負も正もとるようなのですが、
このサイト
http://physics.thick.jp/Physical_Mathematics/Section3/3-7.html
の曲率を求めるtan の式は正の曲率の場合しか使えないのでしょうか？
仮に画像のように負の曲率を求める場合は-θを使ったtan の式が必要なのでしょうか？
もし、同じtan の式のままで良いとしたら、なぜ同じtan の式で良いのでしょうか？理由が知りたいです。
No.59721 - 2019/07/08(Mon) 19:11:22
☆ Re: 曲率に関して。 / 黄桃
> 曲率は負も正もとるようなのですが、
ここでいう曲率の定義は何ですか。

>このサイト...の曲率
には冒頭に（平面曲線の）曲率の定義（らしきもの）が書いてあり、その定義では曲率は負や0になりません。

なので、使えるかどうかは、ご自身が最初に述べている（負もとるという）曲率の定義次第です。

＃自然数の掛け算の説明をしている時に、なぜ負x負が正になるのか、と聞かれるようなものです。
No.59751 - 2019/07/09(Tue) 07:01:52
☆ Re: 曲率に関して。 / マーク42
黄桃さん、ありがとうございます。
では、このサイトで導いたtanの式は正の曲率がでるような状況のグラフでないと使えないということでしょうか？
No.59753 - 2019/07/09(Tue) 10:28:09
☆ Re: 曲率に関して。 / マーク42
ちなみに、今回のサイトでは曲率は正の値ですが、
曲率が負である場合を考えると、それ相応のtanの式に変えれば曲率が負の場合でも対応できるのでしょうか？

以前に曲率は正の場合も負の場合もあると言われ、疑問に思いました。
No.59754 - 2019/07/09(Tue) 10:33:01
☆ Re: 曲率に関して。 / 黄桃
同じことの繰り返しです。
上記サイトでは曲率と言ったら正（無限大を含む、近似円の半径の逆数）なのですから、
「正の曲率がでるような状況のグラフでないと使えない」のではなくて
「正の曲率がでるような状況のグラフしかありえない」のです。

>以前に曲率は正の場合も負の場合もあると言われ
ということは、「以前に負の場合もあると言われ」た曲率の定義と
（正の値しか取らない）上記サイトの曲率の定義は異なるということです。
だから、最初に私が「そのように言われた曲率」の定義を聞いたのです（上記サイトの定義はわかりましたので）。

>曲率が負である場合を考えると
まずは、曲率が負の場合もあるという、曲率の定義とは何かをはっきりさせましょう。話はそれからです。
定義がわからないのに、性質が証明できるはずはありません。
No.59778 - 2019/07/09(Tue) 23:19:57
☆ Re: 曲率に関して。 / マーク42
どうもありがとうございます！
あの申し訳ないのですが、私の載せたサイトのどのところに曲率が正の値しかとらないと書いてあるのか教えて頂けないでしょうか？

ちなみに、こちらのサイトの曲率は定義はわかりませんが正にも負にもなるようです。
http://www.epii.jp/articles/note/math/curvature#article_section_1.8
曲率を求める過程で計算が少し違うため、式は似ていますが指数の数字が違います。
このサイトで曲率の定義がどのようなものかわかると思ったのですがいまいちわかりませんでした。
No.59780 - 2019/07/10(Wed) 07:06:19
☆ Re: 曲率に関して。 / 黄桃
>私の載せたサイトのどのところに曲率が正の値しかとらないと書いてあるのか

冒頭部分です。
> 近似された円の半径を曲率半径といい、曲率半径の逆数をその運動の曲がり具合として、曲率という。
円の半径は正の値です。

＃この文章から半径-1の円があるとは普通考えられません。

epii.jp のサイトには、ちゃんと丁寧に「符号付き」曲率とあります。
そして符号の意味も1.8に書いてあります。

＃さらに、1.8の最後に
＃単に曲率とか曲率半径とか言った場合には普通、符号付きの曲率や曲率半径の絶対値のことを指します。
＃とまで書いてあります。

1.8節の説明によれば、符号は、曲線の「進行方向」を決めて初めて意味をもつものであり、
進行方向に向かって左側に曲がる場合に符号が+, 右に曲がる場合に符号が- とあります。

ということは、同じ曲線でも進行方向が変われば符号は変わりますし、そもそも進行方向が不明なら符号は決まりません。

符号の違いは、曲線の進行方向の違いだけなので、一方の場合だけで図を描いて証明すれば十分です。
なぜなら他方は進行方向（か曲がる方向）を逆にしたものですから、図を鏡にでも映せばまったく同じことで、
最後に符号だけ逆にすればいいからです。

＃式の上では曲線の方程式をy=f(x)とした時の進行方向は、xが大きくなる方向としています。
＃2階微分が正の場合（つまり上に凸の場合）に符号付き曲率も正、
＃2階微分が負の場合（下に凸の場合）に符号付き曲率が負、ということです。
＃最初のサイトの図はxが大きくなる方向が進行方向で上に凸の場合の図をかいています。

＃＃ちなみに、最初のサイトは物理屋さんのサイト(epiiもそうですが）ですからこのあたりは
＃＃厳密ではなく、出てきた値が負なら絶対値をとればいいじゃないの、くらいのノリでしょう。

以下蛇足です。

>こちらのサイトの曲率は定義はわかりませんが
Rの定義は1.5に、κの定義は1.6に書いてあります。どちらも「符号付き」とついてます。
そして1.8に符号が付かない通常のはその絶対値と書いてあります。

>このサイトで曲率の定義がどのようなものかわかると思ったのですがいまいちわかりませんでした。
定義がわからないのに、負の場合がどうなるか考えることができるというのが私には不思議です。

>式は似ていますが指数の数字が違います。
確かにthick.jpの方には誤植があります（最後の式で(dy/dx)^2 の2乗が抜けてる）が、
直前まで式をたどっていればすぐ誤りとわかる誤植です。

＃こういう疑問を持つということは、検索結果を比べてるだけで自分では何も考えてない(100%受け身)、
＃と判断される可能性が高いです。
＃そういう人だと判断されると回答が得にくいと私は思います。
＃少なくとも、私のモチベーションは下がりました。
No.59793 - 2019/07/10(Wed) 22:51:25
☆ Re: 曲率に関して。 / マーク42
返信ありがとうございます！
丁寧に説明してくださりありがとうございます。
私自身も実際に式を展開していき誤植など確認はしました。ですが自分が間違っているのではないかと心配になり質問ばかりで受け身でした。モチベーションを下げてしまいすいません。今後は解答を得られるようもっと頑張ります。

最後に「符号は、曲線の「進行方向」を決めて初めて意味をもつものであり、
進行方向に向かって左側に曲がる場合に符号が+, 右に曲がる場合に符号が- とあります。」
とのことで少し気になったことがあります。
最初に載せましたサイトのphyのdθやdrの式は図の正の角度と座標から作られました。
正の角度と座標から作られた理由は曲線に進行方向を決めてから曲率を求める際に符号が付いた曲率を求めるためにわざとdθやdr正の角度と座標から作られということでしょうか？
っと思ったのですが、phyの式での二階微分は直線の二階微分であるため式自体は必ず正の値になるとわかりました。（θが鈍角だとして）負の曲率を求めるとしたら曲率にただマイナスの符号を付ければよいですね。

epiiの方は角度α、βからできた直線ではなくグラフ自体を二階微分してRの式に代入しているため曲率の正も負も表せるとわかりました。

私の考えは合っていますでしょうか？
No.59802 - 2019/07/11(Thu) 06:19:12
☆ Re: 曲率に関して。 / 黄桃
>最初に載せましたサイトのphyのdθやdrの式は図の正の角度と座標から作られました。
根本的に間違っています。最初のサイトでは符号を考えていません。向きは適当に決めていると考えてください。「負の曲率」は求めるものではなくて、「このように座標系を決めるとこれこれの定義で定まる符号付き曲率は負になる」だけのことです。

ずいぶん「負の角度」にこだわっていますが、なんだか「マイナス1個のリンゴ」を探しているように見えます。

「負の角度」を考える前に、「負の距離」を考えたらどうですか。数直線上で -1 と 0 の距離は 1 ですが、0から-1への符号付き距離は-1とみることもできます。-1の距離があるわけではなくて原点から「正の向き」と反対に1だけ進むことですね。

一方、図形の問題でいろいろな図をかいても「ここはマイナスの距離」なんて意識することはありません。
例えば、△ABCの頂点AからBCに下した垂線の足をHとする、というときに、Hが線分BC上にあろうとも、線分BCの外にあろうとも、AHの長さといったら0か正の値です。ですが、仮にBを原点、Cを(1,0)とする座標系を導入すれば、Aのx座標が負ならHのx座標も負になります。このこととAHの長さがマイナスになることとは関係ありません（座標をどう入れようが長さは負になりません）。
このあたりのことをじっくり考えてから「負の角度」について考えてみてください。
No.59804 - 2019/07/11(Thu) 08:00:35
☆ Re: 曲率に関して。 / マーク42
間違った考えをしていまいすいません。
＞＞「負の曲率」は求めるものではなくて、「このように座標系を決めるとこれこれの定義で定まる符号付き曲率は負になる」だけのことです。
とのことですが、
では、二つのサイトでの二階微分の部分に関してですが、
dy/dx=1/2だった場合、d^2y/dx^2は1/4を表すのでしょうか？そして、方向を定めることで曲率の符号が決まるということでしょうか？

ただ、いろいろ調べると曲率の正負はdθとdrによって決まるため二階微分は関係ないと書いてあったりと少し混乱しています。
No.59814 - 2019/07/11(Thu) 13:29:57
☆ Re: 曲率に関して。 / マーク42
phyの方のサイトでは画像の?@は+dθであるため、正の曲率しか導けないが、もう一つのサイトではβ-α=dθ(正)なのでβ>α、β<αの場合に
よって正負の曲率の符号が表せるという事でしょうか？
No.59816 - 2019/07/11(Thu) 14:18:51
☆ Re: 曲率に関して。 / マーク42
あの後少し理解できてきました。
一つお聞きしたいのですが、曲率や曲率半径は負の存在しない図形的に、すなわち幾何学的に求めることはできないのでしょうか？
No.59834 - 2019/07/12(Fri) 04:30:35
☆ Re: 曲率に関して。 / 黄桃
すみません、私の能力ではどう説明したらわかってもらえるかわかりません。
なので、これでおしまいにします。

　できる部分だけ答えるように努力はします。

>dy/dx=1/2だった場合、d^2y/dx^2は1/4
dy/dxが定数関数1/2 であれば、d^2y/dx^2=0 です。微分して定数ならもとの関数は直線で、曲率は0です。
y=(1/8)x^2 であれば2階微分は常に1/4です。(dy/dx)_x=a =1/2 というだけでは (dy^2/dx^2)/_x=a が何かはわかりません。

>いろいろ調べると
自分の頭で考えましょう。調べるなら、各サイトが何をいっているのか理解しないとダメです。
内容を把握し、自分で計算を追い（正しいことを自分の手で確かめる）、そして意味を考えるのです。
大学レベルになると小説のように読み流すだけでは決して理解できないことも多々あります。
このサイトを見てわからないから他のサイトを見る、といっても良心的なサイトならおそらく同じようなことが書いてあり、やっぱりわからないでしょう。

>曲率の正負はdθとdrによって決まるため二階微分は関係ない
y=f(x)という形の曲線のdθ/drを求めるために、苦労して2階微分まで使って求めたのではないですか？
最初から曲線の式がθとrで与えられていれば、d^2θ/dr^2 は必要ないでしょう。

>phyの方のサイトでは画像の?@は+dθであるため、正の曲率しか導けない
曲率が正になるようにθ、rの方向を決めたと考えてください（rが大きくなればθも大きくなるように決めてます）。

もう１つのサイトは、phyのような直観的な説明から y=f(x)の場合の曲率を計算し、その値を「符号付き曲率」と定義しています。
別に-dθは決めてませんが、rが大きくなるとθが小さくなる、と解釈して同様の計算をすれば負の値になるでしょう。
数学的には　θ=-t と置換して、tについて考えているだけですから。

>曲率や曲率半径は負の存在しない図形的に、すなわち幾何学的に求めることはできない
図形的に、の意味がわかりませんが、直観的でよければ、例えばx=a の近くに3点とって（もっと多くてもいいですが）、
その3点から等距離にある点（4点以上とったら4点からの距離の2乗和が最小になる点）が円の中心、くらいでいいのでは？

＃直観的には極限操作が必要なので、一般の曲線で作図で求めるのは無理な気がします。
No.59835 - 2019/07/12(Fri) 10:13:24