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記事No.59773に関するスレッドです
★
(No Subject)
/ 竜胆
引用
問1
A(1,0) B (-1,0) C(0,-1)において
∠APC=∠BPC を満たす 、平面上のPの軌跡を求めよ。
この問題なのですが、数2bまでの考え方(tan cos)を使ってたかやり方が面倒なために、
問1の問題を複素数(数?V)のargの考え方を使おうと考えたのですが、
結局できずじまいです。
どなたか、教えていただけませんでしょうか？
No.59583 - 2019/07/01(Mon) 16:25:44
☆
Re:
/ 竜胆
引用
自分で実験したところ、答えはx軸(x>1), y軸(y≠-1),単位円(y>0)だと思われます。
No.59584 - 2019/07/01(Mon) 16:27:45
☆
Re:
/ らすかる
引用
x軸のx＜-1もあるのでは？
No.59585 - 2019/07/01(Mon) 17:11:09
☆
Re:
/ 竜胆
引用
らすかるさんその通りですね。
自分はこの結果はお絵かきをして得たものであるので、まだ抜けがあるかもしれません。
No.59586 - 2019/07/01(Mon) 17:16:26
☆
Re:
/ X
引用
P(x,y)と置くと、題意を満たすためには
(↑PAと↑PCのなす角)=(↑PBと↑PCのなす角)
∴(↑PA・↑PC)/(|↑PA||↑PC|)=(↑PB・↑PC)/(|↑PB||↑PC|)
これより
(↑PA・↑PC)|↑PB|=(↑PB・↑PC)|↑PA| (A)
かつ
|↑PA||↑PB||↑PC|≠0 (B)
ここで
↑PA=(1-x,-y)
↑PB=(-1-x,-y)
↑PC=(-x,-1-y)
となるので(A)は
{(1-x)(-x)-y(-1-y)}√{(1+x)^2+y^2}={(-1-x)(-x)-y(-1-y)}√{(1-x)^2+y^2}
{x(x-1)+y(1+y)}√{(1+x)^2+y^2}={x(1+x)+y(1+y)}√{(1-x)^2+y^2}
(x^2-x+y^2+y)√{(1+x)^2+y^2}=(x^2+x+y^2+y)√{(1-x)^2+y^2} (A)'
両辺を二乗して
{(1+x)^2+y^2}(x^2-x+y^2+y)^2={(1-x)^2+y^2}(x^2+x+y^2+y)^2
{(1+x)(x^2-x+y^2+y)}^2-{(1-x)(x^2+x+y^2+y)}^2=(y^2){(x^2+x+y^2+y)^2-(x^2-x+y^2+y)^2}
{(1+x)(x^2-x+y^2+y)+(1-x)(x^2+x+y^2+y)}{(1+x)(x^2-x+y^2+y)-(1-x)(x^2+x+y^2+y)}=(y^2)(2x)・2(x^2+y^2+y)
{(1+x)(x^2+y^2+y-x)+(1-x)(x^2+y^2+y+x)}{(1+x)(x^2+y^2+y-x)-(1-x)(x^2+y^2+y+x)}=4x(y^2)(x^2+y^2+y)
{(1+x)(x^2+y^2+y)-x(1+x)+(1-x)(x^2+y^2+y)+x(1-x)}{(1+x)(x^2+y^2+y)-x(1+x)-(1-x)(x^2+y^2+y)-x(1-x)}=4x(y^2)(x^2+y^2+y)
{2(x^2+y^2+y)-2x^2}{2x(x^2+y^2+y)-2x}=4x(y^2)(x^2+y^2+y)
{(x^2+y^2+y)-x^2}{x(x^2+y^2+y)-x}=x(y^2)(x^2+y^2+y)
x(y^2+y)(x^2+y^2+y-1)=x(y^2)(x^2+y^2+y)
x{(y^2+y)(x^2+y^2+y-1)-(y^2)(x^2+y^2+y)}=0
x{(y^2+y)(x^2+y^2+y)-(y^2+y)-(y^2)(x^2+y^2+y)}=0
x{y(x^2+y^2+y)-(y^2+y)}=0
xy{(x^2+y^2+y)-(y+1)}=0
xy(x^2+y^2-1)=0
∴
x=0 (C)
y=0 (D)
x^2+y^2=1 (E)
さて(A)'のとき、両辺を二乗しているので
(C)(D)(E)のとき(A)'が成立する条件を確認する
必要があります。
(i)(C)のとき
(A)'は
(y^2+y)√(1+y^2)=(y^2+y)√(1+y^2)
∴任意のyに対し、成立。
又(B)より
y≠-1
(ii)(D)のとき
(B)より
x≠-1かつx≠1
又、(A)'は
(x^2-x)|1+x|=(x^2+x)|1-x| (A)"
(I)x＜-1のとき
(A)"は
-(x^2-x)(1+x)=(x^2+x)(1-x)
x(x-1)(x+1)=x(x+1)(x-1)
これはx＜-1なる任意のxに対し成立。
(II)-1＜x＜1のとき
(x^2-x)(1+x)=(x^2+x)(1-x)
∴x(x-1)(1+x)=0
∴x=0
(III)1＜xのとき
(A)"は
(x^2-x)(1+x)=-(x^2+x)(1-x)
x(x-1)(x+1)=x(x+1)(x-1)
これは1＜xなる任意のxに対し成立。
以上から(D)のとき
x＜-1,x=0,1＜x
但しx=0のときは(i)の場合に含まれます。
(iii)(E)のとき
(A)'は
(1-x+y)√(2x+2)=(1+x+y)√(2-2x)
(1-x+y)√(x+1)=(1+x+y)√(1-x)
{√(1-x^2)-y}{√(1-x)-√(1+x)}=0
∴√(1-x)=√(1+x) (E)'
又は
y=√(1-x^2) (E)"
(E)'よりx=0
(E)"よりy≧0となりますがy=0のときは
(B)が成立しないので
y＞0
以上から求める条件は
x=0(y≠-1)
又は
y=0(x＜-1,1＜x)
又は
x^2+y^2=1(0＜y)
となります。
No.59587 - 2019/07/01(Mon) 18:02:45
☆
Re:
/ 竜胆
引用
Xさんありがとうございました。
この問題は複素数で解くことはできないのでしょうか？
A(1) B(-1) C(-i) P(p)と置いて、
PC↑からPA↑まだ測った角、
arg(1-p)/(-i-p)
PB↑からPC↑まで測った角
arg(i-p)/(-1-p)
において、
∠APC-∠BPC=arg± [{(1-p)/(-i-p)}/{(i-p)/(-1-p) }]
となり、arg± [{(1-p)/(-i-p)}/{(i-p)/(-1-p) }] が2nπとなればよく、
± [{(1-p)/(-i-p)}/{(i-p)/(-1-p) }]が正の実数となれば良いとして、求めようとしたところ、
上手くいきませんでした。
No.59608 - 2019/07/02(Tue) 16:50:26
☆
Re:
/ ＩＴ
引用
細かいところはおいといて
arg((1-p)/(i-p))=arg((-1-p)/(i-p))
⇔ arg(1-p)=-arg(-1-p) ＃間違えてたので直しました。
⇔ 1-p=k(-1-p) ,k は正の実数
⇔ p=-(k+1)/(k-1) ,k は正の実数
⇔ pは実数で p＜-1またはp＞1
または、
arg((1-p)/(i-p))=-arg((-1-p)/(i-p))
⇔ arg((1-p^2)/(i-p)^2)=0
⇒ (1-p^2)/(i-p)^2=(1-p^2)~/((i-p)^2)~
＃ここで(1-p^2)/(i-p)^2が０以下の実数の場合を除かないと同値ではないですね。
⇔ (1-p^2)(-i-p~)^2=(1-p^2)~(i-p)^2
⇔ (1-p^2)(p~^2+2ip~-1)=(1-p~^2)~(p^2-2ip-1)
⇔ p~^2+2ip~-1 -|p|^4-2i(p^2)p~+p^2=p^2-2ip-1-|p|^4+2ip(p~)^2+p~^2
⇔ 2ip~-2i(p^2)p~=-2ip+2ip(p~)^2
⇔ p~-(p^2)p~=-p+p(p~)^2
⇔ -p~+p|p|^2=-p+p~|p|^2
⇔ (|p|^2-1)(p+p~)=0
p~ はpの共役複素数です。
No.59619 - 2019/07/03(Wed) 00:41:49
☆
Re:
/ X
引用
ITさんの計算に補足する形で。
複素平面を直線AB,BCで4つの領域(境界含まず)に分割し
AB,BCいずれから見ても上側になる領域をI,以下Iから
反時計回りにII,III,IVと領域に名前を付けます。
このとき
領域IVに点Pが存在する場合がITさんの前半の条件である
＞＞arg((1-p)/(i-p))=arg((-1-p)/(i-p))
であり、
領域IIIに点Pが存在する場合がITさんの後半の条件である
＞＞arg((1-p)/(i-p))=arg((-1-p)/(i-p))
となっています。
ちなみに
領域IIに点Pが存在する場合は
-arg((1-p)/(i-p))=-arg((-1-p)/(i-p))
これは
arg((1-p)/(i-p))=arg((-1-p)/(i-p))
となって領域IVに点Pが存在する場合と同じであり、
又
領域Iに点Pが存在する場合は
-arg((1-p)/(i-p))=arg((-1-p)/(i-p))
これは
arg((1-p)/(i-p))=-arg((-1-p)/(i-p))
となって領域IIIに点Pが存在する場合と同じ
となります。
No.59630 - 2019/07/03(Wed) 17:50:41
☆
Re:
/ 竜胆
引用
ありがとうございます。
もう一度考えてみます。
No.59633 - 2019/07/03(Wed) 19:25:55
☆
Re:
/ ＩＴ
引用
竜胆さんの
> PB↑からPC↑まで測った角
> arg(i-p)/(-1-p)
が間違いですね、arg((-i-p)/(-1-p)) です。
No.59634 - 2019/07/03(Wed) 19:32:02
☆
Re:
/ 竜胆
引用
すいません、いくつか質問があります。
1つ目
ITさんはPCからPAまで測った角とPCからPBまで測った角を比べていますか？
そうすると、arg((1-p)/(i-p))=arg((-1-p)/(i-p))
ではなくarg((1-p)/(-i-p))=arg((-1-p)/(-i-p))
になると思うのですが
2つ目
仮に、1つ目があっていたとして、
arg((1-p)/(i-p))=arg((-1-p)/(i-p))
⇔ arg(1-p)=-arg(-1-p)
の、部分で - がつくのは何故ですか？
arg(1-p)= arg(-1-p) ではないのですか？
3つ目
1-p^2)/(i-p)^2が０以下の実数の場合を除かないと同値ではない
この場合はどのようにして別に考えるのでしょうか？
4つ目
Xさんへ
領域についての対応についてなのですが、
領域1と3が 後の考え、2と4が先の考えだとしたら、
領域4も後の考え方にに入っていないと、
答えは-2iを除く虚軸であることに反しませんか？
5つ目
Xさんへ
XさんもPCからPAまで測った角とPCからPBまで測った角を比べていますか？
もしそうならば、
領域1 PCからPAまで測った角は、反時計回りとPCからPBまで測った角は 時計回り
領域2PCからPAまで測った角は、反時計回りとPCからPBまで測った角は 反時計回り
領域3PCからPAまで測った角は、反時計回りとPCからPBまで測った角は 反時計回り
領域4PCからPAまで測った角は、時計回りとPCからPBまで測った角は 時計回り
となって、
No.59764 - 2019/07/09(Tue) 17:29:41
☆
Re:
/ 竜胆
引用
領域1がarg((1-p)/(i-p))=-arg((-1-p)/(i-p))
領域2、3.4がarg((1-p)/(i-p))=arg((-1-p)/(i-p))
となりませんか？
No.59765 - 2019/07/09(Tue) 17:31:35
☆
Re:
/ X
引用
＞＞4つ目
反していません。
恐らく、
原点中心、半径1の円 (P)
がIVの領域に入ってくるものと
思われての質問だと思われますが、
IVの領域には(P)は含まれません
(図を正確に描いてみて下さい)
ので領域IIに関する条件式を変形して
|z|=1
を導く項が含まれていたとしても
それは領域IVにおいては解とはなりません。
>>答えは-2iを除く虚軸
答えは「-i」を除く虚軸、のタイプミスですか？
＞＞5つ目
＞＞領域3PCからPAまで測った角は、反時計回りとPCからPBまで測った角は 反時計回り
間違っています。
領域IIIにおいてPCからPAまで測った角は
「時計回り」
となります。
No.59770 - 2019/07/09(Tue) 18:21:56
☆
Re:
/ 竜胆
引用
Xさん
4つ目
いえ、原点中心、半径1の円 (P)
がIVの領域に入ってくる」のではなく、
-iを除く虚軸は領域1.2.4に入っていらと自分は考えています。
-2iはタイプミスです。ごめんなさい。
5つ目
XさんもPCからPA、PBまで測った角
で考えているのでしたら、arg((1-p)/(i-p))=arg((-1-p)/(i-p))
ではなくて、arg((1-p)/(-i-p))=arg((-1-p)/(-i-p)) ではないでしょうか？
>領域IIIにおいてPCからPAまで測った角は
「時計回り」
となります。
すいません、何度考えても反時計回りになってしまいます。
画像を添付するので見ていただけますか？
No.59773 - 2019/07/09(Tue) 19:03:00
☆
Re:
/ ＩＴ
引用
1つ目
2つ目
記入ミスなどですね。
No.59775 - 2019/07/09(Tue) 19:44:33
☆
Re:
/ X
引用
>>すいません、何度考えても反時計回りになってしまいます。
ごめんなさい。No.59630で
複素平面を分割する直線を
AB,BC
としていましたが、正しくは
CA,BC
です。
それを踏まえてもう一度考えてみて下さい。
No.59779 - 2019/07/10(Wed) 06:06:24
☆
Re:
/ 竜胆
引用
Xさんありがとうございます。
もう一度考えてみます。
No.59791 - 2019/07/10(Wed) 21:16:01
