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記事No.59993に関するスレッドです
★ 展開の過程。 / マーク42
以前に図形に関して質問したもので、式は導けたのですが、左辺を右辺の式にどう展開して答えに行けば良いかわかりません。
どうか過程の式に関するヒントを教えていただけないでしょうか。
出来ればらすかるさんにお答えして頂けると嬉しいです。
No.59887 - 2019/07/15(Mon) 20:41:28
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
左辺の式と右辺の式は違う式なので、
左辺の式を右辺の式に変形することはできません。
同じ式かどうかは、具体的に適当な値を代入して
電卓で計算してみればわかります。
（例えばdθ=1、θ=π/4を代入するなど）
No.59895 - 2019/07/15(Mon) 23:12:56
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
おっしゃる通りです。
代入して確認すればよかったです。
かつ、計算ミスが発覚したのでやり直します。
ありがとうございました。
No.59899 - 2019/07/16(Tue) 01:03:37
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
新しく作り直しました。
ですが、値が一致しません。
dθ<0なのでdθ=-1°,θ=45°にして計算して、1.0355...=0になり図が間違っているとわかりました。ただどこが間違っているのかわからなかったため比での簡単な計算にしてみました。
すると、多分合っているであろう値が出てきました。
正しいか確認していただけないでしょうか？
また、2枚目に送る間違った図に関しても修正しましたので正しいか確認お願いします。

ちなみに、1枚目の値は1.0355と1.0406と出ました。
2枚目は1.0355と1.034588とほぼ等しい数値が出ました。
No.59901 - 2019/07/16(Tue) 02:12:01
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
2枚目がこちらになります。少し汚くてすいません。
最初に書いた2枚目が間違っていたのは途中で- dθが計算から抜けていたためとわかりました。そのため右辺が0になったのだと思います。
No.59903 - 2019/07/16(Tue) 02:18:56
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
両方とも正しくありません。
適当な値を入れて値が明らかに違う場合は「式は異なる」となりますが、
値が一致または近い場合は「式は同じである可能性がある」というだけで、
それだけで同じとは言えません。
値が近くなった場合は全然違う値で何通りか計算してみる必要があります。
試しにθを45°でなく10°にして計算してみて下さい。

# tan(θ+dθ)でdθを負に変えてtan(θ-dθ)にするのでしたら
# 以前のtan(θ+dθ)の図と全く同じですから、
# tan(θ+dθ)の答えを追えば、どこが間違っているかわかると思います。

# というより、そもそもdθ＜0でtan(θ-dθ)の式を求めるのは
# dθ＞0のtan(θ+dθ)の式でdθのかわりに-dθを使っているだけで、
# 既にtan(θ+dθ)を求めていたら何の意味もないですが、
# 一体何をしたいのですか？

それから、一部分に三平方の定理を使って
√{1+1/(tanθ)^2}のようにするのは計算間違いの元です。
sin,cos,tanを使えばどの辺の比も表せますので
三平方の定理を使うのはやめましょう。
No.59904 - 2019/07/16(Tue) 04:34:05
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
計算したところ間違っていたことがわかりました。

＞＞# 一体何をしたいのですか？
今回は「前回の図形」とは異なり座標と角度に負も存在する座標上で、角度はa<45°　90°＜θ＜135°の場合でのtan(θ—dθ)を作ろうとしました。

図形No.59901は間違っていないということは私の過程の計算にミスがあるということでしょうか？
No.59919 - 2019/07/16(Tue) 16:53:13
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
前もって今回の図形に関してのことを詳しく話していなかったため少しややこしくなってしまいました。
角度aはa<45°　θの範囲は90°＜θ＜135°の場合でのtan(θ—dθ)なのでNo.59901の式にθ=100°dθ=‐1の時で確認してみます。
左辺は−5.1455　右辺は−0.048となり全く一致しませんでした。ということはa<45°　θの範囲は90°＜θ＜135°の図は正しいが導いた式に間違いがあるということでしょうか。
No.59920 - 2019/07/16(Tue) 17:29:27
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
図を画像のようにしました。
そして、tan(θ-dθ)としてtan100°、dθ=tan-1°として新しい式(紙の右上)に代入したところ-5.671=-0.158となりました。
ここまでくると図の作り方が悪いのか、計算ミスかわからなくなってきます。
どうか知恵を貸して頂けないでしょうか。
よろしくお願い致します。
No.59922 - 2019/07/16(Tue) 18:17:02
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> 今回は「前回の図形」とは異なり座標と角度に負も存在する座標上で、
> 角度はa<45°　90°＜θ＜135°の場合でのtan(θ-dθ)を作ろうとしました。

dθ＜0にするだけなら、鈍角のθに対してtan(θ+dθ)の式を導出したときの
dθをすべて-dθに変えれば、それですべて終わります。
ですから、その時の図と計算を見れば正解がわかるはずです。
dθを-dθに置き換えるだけですから、それをすることに意味があるとは思えません。
dθ＜0でtan(θ-dθ)の式を作るのとdθ＞0でtan(θ+dθ)を作るのは、
「dθ」を「-dθ」に書き換えただけであり、全く同じことです。
No.59926 - 2019/07/16(Tue) 19:27:04
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
アドバイスありがとうございます。
ですが、鈍角のθに対してtan(θ+dθ)の式を導出したときの式は90°<θ<180°であり、a<45°ではないのですがaの角度に関わらず図からtan(θ-dθ)が導けるわけですか？
出来れば、載せた図から解きたいのですので、どこが間違っているか探してみます。
No.59927 - 2019/07/16(Tue) 19:40:02
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> ですが、鈍角のθに対してtan(θ+dθ)の式を導出したときの式は90°<θ<180°であり、
> a<45°ではないのですがaの角度に関わらず図からtan(θ-dθ)が導けるわけですか？

当然導けます。
90°＜θ＜180°に対するtan(θ+dθ)の式を導いたのですから、このdθを-dθに変えたら
90°＜θ＜180°に対するtan(θ-dθ)の式になります。
90°＜θ＜180°で有効な式ですから、当然90°＜θ＜135°でも有効です。

> 出来れば、載せた図から解きたいのですので、どこが間違っているか探してみます。

「載せた図」を「tan(θ+dθ)を導いた時の図」と比較すれば良いことです。
前の図があるのに、この図だけ見て考えるのは時間の無駄です。
No.59928 - 2019/07/16(Tue) 19:47:30
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
ありがとうございます。
過去の図と見比べて間違いがわかりました。
多分ですが前の図は座標は（−cosθ、sinθ）ですが新しい方は（cosθ、sinθ）となっています。
ですが、今回は図形のような解き方ではないため座標が（cosθ、sinθ）でもおかしくはないと思うのですが、少しだけヒントを頂けないでしょうか？


ちなみに、前は変数自体が正の値の時の図形の時に成り立つtan(θ+dθ)ですが、なぜ正負の存在する座標上での場合の図形のから導いた式tan(θ+dθ)の時も変数自体が正の値の時に成り立つ図形の時と同じtan(θ+dθ)の式が導けたのでしょうか？
No.59929 - 2019/07/16(Tue) 19:58:46
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> ですが、今回は図形のような解き方ではないため
意味不明です。
図形を描いて各線分の長さを考えて解いているのに
「図形のような解き方ではない」とはどういうことですか？

> 座標が（cosθ、sinθ）でもおかしくはないと思うのですが、
> 少しだけヒントを頂けないでしょうか？
座標と線分の長さは別問題です。

> ちなみに、前は変数自体が正の値の時の図形の時に成り立つtan(θ+dθ)ですが、
> なぜ正負の存在する座標上での場合の図形のから導いた式tan(θ+dθ)の時も
> 変数自体が正の値の時に成り立つ図形の時と同じtan(θ+dθ)の式が
> 導けたのでしょうか？
「座標」が関係ないからです。
「座標」が正でも負でも、「線分の長さ」や「角度」には全く関係ありません。
No.59930 - 2019/07/16(Tue) 20:52:35
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
わかりにくくてすいません。
今回は正の値だけではなく、負の値(座標のcosθ)などが入るため、以前のように角度も変数のcosθや sinθも正の値の時とは違い正しいtan の式が導けないと思いました。というのも負の値の長さは存在しないためです。
No.59932 - 2019/07/16(Tue) 21:12:50
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> 今回は正の値だけではなく、負の値(座標のcosθ)などが入るため、
「座標のcosθ」がどこに入るのですか？
図形的に線分の長さの比で考えるのに「座標」は関係ないと思いますが。

もしかして、その考え方でDFは負でsinθ：cosθ=1：DFなどと考えているのですか？
もしそう考えているならば大間違いです。
No.59934 - 2019/07/16(Tue) 21:20:43
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
はい、cosθも、それにより導かれたDF(1/tan θ)も負と考えています。
するとtan(θ- dθ)の加法定理は正の値の時のみでしか成り立たないのですか？
もしそうならばとんでもない間違いをしていました。
No.59935 - 2019/07/16(Tue) 21:25:53
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> はい、cosθも、それにより導かれたDF(1/tan θ)も負と考えています。
それは大間違いです。
Dの「x座標」は負、Fの「x座標」は0ですが
DFはDとFとの距離ですから負ということはあり得ません。
もしDFが負だとしたとき、例えば直線OFに関してDと対称な点をD'としたときに
DD'はどうなるのですか？おかしいと思いませんか？

> するとtan(θ- dθ)の加法定理は正の値の時のみでしか成り立たないのですか？
これも意味不明です。
加法定理は正負どちらでも成り立ちます。
これとDFの正負とは関係ありません。
No.59937 - 2019/07/16(Tue) 21:32:43
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
返信遅くなりました。
tanθの加法定理tan(θ- dθ)についてわかってきました。
確かに正負どちらでも成り立ちます。
値が負の場合は正になるようにマイナスの符号を付けて、というかマイナスが付くように図を工夫して作り、その図からtan(θ- dθ)の式を作れば良いことがわかりました。
また、dθ＜０により−dθは正の値であり、角度の大きさとして使えるためNo.59901の図をひっくり返した図を作れば良いことがわかりました。なのでもう一度　比の計算を用いて解いてみます。
No.59944 - 2019/07/17(Wed) 01:43:58
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
図だけ完成したのですが、合っているでしょうか？
どうか確認よろしくお願いします。
No.59950 - 2019/07/17(Wed) 12:29:46
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
αを除いて合っているとは思いますが、
その図でtan(θ-dθ)の式を作っても意味がありません。
なぜなら、以前のtan(θ+dθ)の式は
「θ+dθの値を『正の方向から』θに近づけた時の式」
であり、今回のtan(θ-dθ)は単にdθを-dθに置き換えただけなので
「θ-dθの値を『正の方向から』θに近づけた時の式」
というのは変わっておらず、本質的にtan(θ-dθ)の式を求めていることにはなりません。
本当の意味でtan(θ-dθ)の式を求めたいのでしたら、
dθ＞0でtan(θ-dθ)にしないと意味がありません。

# dθ＜0でtan(θ-dθ)の式を求めるのは、
# dθ＞0でtan(θ+dθ)の式を求めるのと『全く同じ意味』ですから
# 単にdθを-dθに書き換えているだけであり、
# 新たに図を描いたり式を書いたりする作業は
# すべてdθを-dθに置き換える作業でしかありませんので、
# ただの時間の浪費です。
# さんざん「dθを-dθに置き換えているだけだから意味がない」と
# 書いているのですが、意味がないということがわかりませんか？

# それから、90°＜θ＜135°に制限するのも意味不明です。
# 90°＜θ＜180°で何の問題もありません。

# あと、図をわざわざ反転したのも意味不明です。
# 図の向きはどちらであっても、式の作成に何の影響もありません。
No.59951 - 2019/07/17(Wed) 13:25:13
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
形ばかりに囚われて本質の意味を全く理解できていませんでした。
らすかるさんのアドバイスを参考に新しい図を作りました。
多分正しいと思うのですが、斜線の三角形と比に出来る図形が見つかりません。他に展開の仕方はありますでしょうか？
No.59952 - 2019/07/17(Wed) 13:39:47
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
0°＜θ＜90°に対するtan(θ+dθ)の式を求めた図で
θの位置だけ変えれば良いはずです。
No.59955 - 2019/07/17(Wed) 13:59:53
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
＞＞以前、tan(α-β)の図を載せていましたよね？
それと同じでいいはずです。
あ、なるほどこちらの画像のようにすればいいのですね。
どうもありがとうございます。

ちなみに、dθ＜０として−dθと置いた場合、式の形はtan(θ-dθ)となりますが、本質はtan(θ+dθ)となるため式の形はtan(θ-dθ)ですが、tan(θ+dθ)を計算した時と同じ結果が導けるのでしょうか？
No.59956 - 2019/07/17(Wed) 14:49:54
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> ちなみに、dθ＜０として−dθと置いた場合、式の形はtan(θ-dθ)となりますが、
> 本質はtan(θ+dθ)となるため式の形はtan(θ-dθ)ですが、tan(θ+dθ)を計算した時と
> 同じ結果が導けるのでしょうか？
この「同じ結果」が何を意味しているのかよくわかりませんが、
dθの符号にかかわらず
tan(θ+dθ)=(tanθ+dθ)/(1-tanθdθ)
tan(θ-dθ)=(tanθ-dθ)/(1+tanθdθ)
です。
No.59957 - 2019/07/17(Wed) 14:53:54
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
どうもありがとうございます。
式への理解が深まりました。
本当にどうもありがとうございました。
No.59960 - 2019/07/17(Wed) 17:52:06
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
らすかるさんが過去に図を反転しなくても解けるといった意味がわかってきました。
No.59961 - 2019/07/17(Wed) 19:14:53
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
なるほど、図形では角度θは正の値のままとは、
正の値の座標や角度のみで図を作った後に、正の値のみで出来た図であるため図形のように扱えて自由に回転したり、ひっくり返せるためま「図形では角度θはどこでも正の値」言えたわけですね！
正しいですか？
No.59962 - 2019/07/17(Wed) 20:11:21
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> なるほど、図形では角度θは正の値のままとは、
> 正の値の座標や角度のみで図を作った後に、正の値のみで出来た図であるため
> 図形のように扱えて自由に回転したり、ひっくり返せるためま「図形では
> 角度θはどこでも正の値」言えたわけですね！
> 正しいですか？

イマイチ正しくありません。
まるで「正の値の座標や角度のみで図を作った」から
「正の値のみで出来た図」になるような書き方をされていますが、
座標が負の第3象限で作っても長さや角度は常に正ですし、
図は常に「正の値のみで出来た図」です。
何度も書いているように、「図の長さや角度は座標（平面上の
どこにどういう向きであるか）とは関係ありません」。
No.59965 - 2019/07/18(Thu) 03:53:32
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
どうもありがとうございます。
ちなみに、90°<θ<180°でのcosθ,sinθの時のtanの加法定理の式が求められたという事でしょうか？
No.59991 - 2019/07/20(Sat) 02:44:56
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
先ほど計算したところ、90°<θ<180°でのcosθ,sinθの時のtanの加法定理の式から負の傾きが導けたのですが、正しいのでしょうか。
No.59992 - 2019/07/20(Sat) 03:13:28
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
すいません。計算ミスをしていました。傾きは正です。

ちなみに、座標として求める場合は左は負の値が入っているため、正の値にした右の図から式を作りますが、この場合、導かれたtanの加法定理の式は正になりますが、右の図の傾きがわかったということでしょうか？
左の図の90°＜θ＜180°での座標での傾きは負なのに、右の図の傾きが正なので、左の図の90°＜θ＜180°での傾きを求めたわけではないのかなと疑問があります。
No.59993 - 2019/07/20(Sat) 03:46:40
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
何のために、何を求めるために負の座標を含む（cosθ、sinθ）をわざわざ右の図のように正の座標にして傾きを求めたのかわからなくなってきました。
というのも左の図の傾きを求めるならば、そのまま図を作るなり式を作るなりすれば良いと考えたためです。
それとも単純に左の座標を正にした場合の傾きを求めるために右の図のようにしただけなのでしょうか。
0°＜θ＜90°の時は単純に傾きを求めるだけだったのに。
No.59994 - 2019/07/20(Sat) 04:47:52
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
「座標として求める」は意味不明ですし、その他の質問も意味不明です。
元々tan(θ±dθ)の式を『図形で』求めているのですから、
『座標』は関係ありません。
座標のどこに作図しようと、「長さ」と「角度」は変わりませんので、
座標は全く関係ありません。
『座標は関係ない』と今までさんざん書いていますが、
何回書けばわかるのですか？

例えば一辺2の正三角形ABCを
A(0,0)、B(2,0)、C(1,√3)となるように座標平面に置くと
∠CAB=60°ですが、
A(0,0)、B(1,-√3)、C(2,0)となるように座標平面に置いた時は
∠CAB=-60°になる、とでも思っているのですか？
No.59996 - 2019/07/20(Sat) 06:19:42
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> 傾き
無条件に「tanθは傾きを表す」と考えているのであれば、それは間違いです。
まずその間違った考え方を捨てて下さい。
tanθを傾きと関連付けて考えるならば、
「xy平面上で直線y=0を、直線上のある点を中心として
　反時計回りにθ回転させた直線の傾きがtanθ」
と正確に覚えましょう。
この条件を考えれば、tanθの傾きを表しているのは
左の図の原点と(cosθ,sinθ)を通る半直線だけとわかります。

それから、角度には向きがありませんし
直線が回転運動しているわけでもないのに
図中のθに矢印を付けるのは間違いです。
図形で、θは「どこを起点として終点までの角度がθ」ではなく
「端点を共有する2つの半直線に挟まれた角度がθ」であり
角度に向きはありません。
「角度はいつも反時計回り」のような変な思い込みを一つずつ捨てていかないと、
いつまで経っても正しく理解できませんよ。
（角度に向きがあるのは、上に書いた「tanθと傾きの関係」のような
　特別な場合だけであり、一般の図形の角度に向きはありません。）
No.59997 - 2019/07/20(Sat) 07:16:39
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
すいません。長さとして見た場合で改めて質問します。
長さとした場合、左の図での傾きではなく、右の図においての傾きを求めるためにtanθの加法定理を導いたということでしょうか？
No.60001 - 2019/07/20(Sat) 12:05:37
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
ありがとうございます。
私の考えは間違っていました。
正しく理解するためにお時間を頂きます。
それまでしばしお待ちください。
No.60002 - 2019/07/20(Sat) 12:20:02
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
確認として、この図の時の傾きは-tanθ(正)、なので加法定理では-tan(θ+dθ)や-tan(θ-dθ)となるので良いですよね？
No.60003 - 2019/07/20(Sat) 12:48:49
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> この図の時の傾きは-tanθ(正)、なので加法定理では
> -tan(θ+dθ)や-tan(θ-dθ)となるので良いですよね？
そうなりますね。
No.60005 - 2019/07/20(Sat) 13:30:54
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
ありがとうございます！らすかるさん。
60003での図の時の傾きは-tanθなので-tanθ=-sinθ/cosθとなるのでしょうか？
でも、だとすると両辺に-1を掛けるとanθ=sinθ/cosθとなるのでなんだか違うように思えるのですが、60003での図の時の傾きを正しくtanθ、sinθ、cosθを用いて表すとどうなりますか？
No.60026 - 2019/07/21(Sun) 01:40:25
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
-tanθ=-sinθ/cosθで合っています。
両辺に-1を掛ければtanθ=sinθ/cosθでこれも正しいです。
No.60027 - 2019/07/21(Sun) 02:06:16
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
ありがとうございます。
ちなみに、NO60003の図に少し間違いがあると思うのですが、座標はC（-cosθ、sinθ）というよりC（sinθ、-cosθ）と思いました。まあ図形で長さで解くので座標は存在しないのであんまり深く考えるだけ無駄ではあります。
No.60031 - 2019/07/21(Sun) 17:24:54
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> 座標はC（-cosθ、sinθ）というよりC（sinθ、-cosθ）と思いました。
違います。
C(-cosθ,sinθ)で正しいです。
No.60034 - 2019/07/21(Sun) 18:58:33
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
ありがとうございます。
ちなみに、なぜC(-cosθ,sinθ)なのでしょうか？
No.60037 - 2019/07/22(Mon) 12:53:46
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
原点から右に-cosθ、上にsinθ行ったところだからです。
逆に、なぜC(sinθ,-cosθ)と思ったのか知りたいです。
No.60039 - 2019/07/22(Mon) 13:46:21
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
＞＞逆に、なぜC(sinθ,-cosθ)と思ったのか知りたいです
これに関しては私の完全な勘違いでした。
どうもありがとうございました。
No.60045 - 2019/07/22(Mon) 19:34:52
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
ちなみに、らすかるさんの図形で解くやり方は90°<θ<180°というθの範囲で、座標を長さとして見るために- cosθと横の長さを置いたのですね。
もし違うならば- cosθと置いた理由をより深く教えてください。
No.60057 - 2019/07/23(Tue) 10:47:39
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> 座標を長さとして見るために- cosθと横の長さを置いたのですね。
最初から「座標」とは考えていません。
∠Bが鈍角である△ABCでAから直線BCに垂線AHを下ろすと
BH=-cos∠Bとなることから、-cosθです。
この考え方に「座標」は出てきませんね。
最初から「鈍角の三角比」で考えています。
それから、「-cosθと横の長さを『置いた』」のではありません。
そのような図にすると必然的に-cosθに『なる』ということです。
No.60074 - 2019/07/24(Wed) 00:13:18
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
なるほど、ありがとうございます。
ちなみに、-cosθのマイナスの符号は単純に負の値であるcosθを正の値にするため持ってきたものではないと以前に言っていましたが、マイナスの符号がどのようにしてcosθのところへやってきたか詳しい経緯はあるのでしょうか。
No.60080 - 2019/07/24(Wed) 01:52:27
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> -cosθのマイナスの符号は単純に負の値であるcosθを
> 正の値にするため持ってきたものではないと以前に言っていましたが
そう言った記憶はありませんので、もし言っていたとしたら
どういうニュアンスだったのかも記憶にありません。

以前θ+α=180°となるようにαを描いていましたよね。
それを使って書けば
(長さ)=cosα=cos(180°-θ)=-cosθ
ですから、結果的にマイナスが付きます。
これは「負の値だからマイナスを付けた」という意味ではないですね。
No.60081 - 2019/07/24(Wed) 07:59:31
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
理解できました。どうもありがとうございます。
そこで思い出したのですが、過去に載せたα＜45°、90°＜θ＜135°の時の図は間違っていることがわかりました。
（まあ、今回の問題で必要ないですが、何が間違っていたのかだけははっきりさせたいです。）

α＜45°、90°＜θ＜135°の時
(長さ)=sinα=sin(90°-θ)=cosθ（赤い線）
(長さ)=cosα=cos(90°-θ)=sinθ（青い線）
となると思います。そこからtanの式を展開するとしたらα＜45°、90°＜θ＜135°の時の場合のtanの式が得られるだけ。
ってことは、らすかるさんと共に解いてきたtanの加法定理は90°＜θ＜180°の時にしか成り立たないということではないかと思いました。
No.60088 - 2019/07/24(Wed) 14:12:41
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> α＜45°、90°＜θ＜135°の時
> (長さ)=sinα=sin(90°-θ)=cosθ（赤い線）
> (長さ)=cosα=cos(90°-θ)=sinθ（青い線）
> となると思います。
なりません。
θに具体的な値を入れて確認して下さい。
No.60089 - 2019/07/24(Wed) 14:20:21
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
代入してみます。θ=120°として
cosθは正の値で、sinθは負の値となり図と矛盾しています。何が間違っていたのでしょうか。角度の計算は正しかったと思うのですが。
ちなみに、
(長さ)=sinα=sin(90°-θ)=cosθ（赤い線）
(長さ)=cosα=cos(90°-θ)=sinθ（青い線）の計算は間違っていましたか？サイトを参考にしたのですが間違っていたらすいません。
No.60090 - 2019/07/24(Wed) 15:21:44
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
α=90°-θと考えているところが間違いです。
θとαの関係式をきちんと考えてみて下さい。

# 正しくない時は、すぐに「どこが間違いか」を質問せずに
# 自分で地道に一つ一つの変形などが正しいかどうかを
# 確認すべきです。
# 自分の間違いが自分でわからないようでは、
# いつまで経っても数学ができるようになりません。
# また、式変形の確認時は「具体値を代入」すれば
# ほとんど自分で発見可能です。
# cosα=sin(90°-θ)も、αに60°、θに120°を代入すれば
# ここがおかしいことはすぐにわかります。
No.60091 - 2019/07/24(Wed) 15:53:52
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
的確な指摘ありがとうございます。
大変お恥ずかしい間違いをしていました。
符号のミスをするなんて。
α=90°-θではなくα=θ-90°でした。
なので元の画像の座標で合っています。
すなわち、α＜45°、90°＜θ＜135°の範囲で導かれたtanの式は90°＜θ＜180°の図から導かれた式と（θの対応できる範囲が違うだけでtanの式は同じとわかりました。）
ですが、なぜ同じ式なのでしょうか？
まあ、角度の範囲が違うだけで被っているθの範囲でのtan(θ+dθ)が変わるとは考えられないためしっくりきますが、数学的になぜ同じなのかということを突き止めたかったです。90°＜θ＜180°の範囲で式が変わらないのだから、θが網羅している90°＜θ＜135°（α＜45°）でも成り立つに決まっていると言われればそうとしかいえません。
No.60092 - 2019/07/24(Wed) 16:10:32
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
60088のような図では「α＜45°」という制限はありませんね。
ですから45°≦α＜90°でも成り立って当然で、
「なぜ同じ式」という質問がなぜ出てくるのかわかりません。
No.60093 - 2019/07/24(Wed) 16:14:07
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
ありがとうございます。
あれ、60088って角度αの位置が違うためα＜45°、90°＜θ＜135°となると思うのですが。
なんにしてもαによってθがどんな範囲にしてもtanの加法定理の式は成り立つとわかりました。
いつもいつも本当にありがとうございます。
No.60094 - 2019/07/24(Wed) 16:21:53
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> 角度αの位置が違うためα＜45°、90°＜θ＜135°となると思うのですが。

そんな理由で「α＜45°」という制限がつくことはありません。
「αの位置でα＜45°となる」というのは完全な間違いです。
実際、60088の図でもう少しαを大きくしてα=60°ぐらいの図にはできますよね？

# 以前ある図で「α＜45°」という制限があったのは、
# その図で本質と関係ない変なところにαがあったからです。
# その図でも余計なαを削除すれば「α＜45°」という制限はなくなります。
No.60095 - 2019/07/24(Wed) 17:04:04
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
あ、なるほど、思い出しました。
ってことはθの制限は90°＜θ＜135°ではなく90°＜θ＜180°となると思うのですが、正しいでしょうか？

また、60088の図でもtanの式が導けましたが、要は60088の図からでも式が導けるわけですね！
No.60131 - 2019/07/25(Thu) 17:51:15
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
あくまでθ（90°＜θ＜180°）とdθ（dθ＞０）という条件でのtanの式を求めたかっただけなのでαがθに影響したりしないならばαが60088や過去の59438での図のようであっても構わないと思っています。
No.60132 - 2019/07/25(Thu) 17:57:40
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
先程、α<45°で90°<θ<135°の図からtanの式を導いたところとりあえず導けましたが、範囲は90°<θ<135°での近似の式であり、90°<θ<180°の時の式とわからないので普通に90°<θ<180°の時の式を使います。
No.60133 - 2019/07/25(Thu) 18:34:59
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
画像を載せ忘れました。
No.60134 - 2019/07/25(Thu) 18:36:08
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> θの制限は90°＜θ＜135°ではなく90°＜θ＜180°となると思うのですが、正しいでしょうか？
正しいです。

> 60134
この図です。この図ではα≧45°のときに図の形が変わってしまうので
図からα＜45°という制限が生じてしまいます。
No.60135 - 2019/07/25(Thu) 20:22:33
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
間違っていなくてよかったです。
ありがとうございます。
なるほど、くどくて申し訳ないのですが、過去に送ったNo.60132やNo.60133の認識は正しいですか？
No.60136 - 2019/07/25(Thu) 20:29:00
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
両方とも意味がよくわかりませんでした。
No.60142 - 2019/07/25(Thu) 21:50:20
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
ありがとうございます。
ちなみに、らすかるさんのやり方に関して、座標が(cosθ,sinθ)としても長さは-cosθとsinθです。しかし、その座標をy軸に対照的に取った場合の座標は(-cosθ,sinθ)で長さは-cosθとsinθです。
って事は-tanの加法定理はどちらからも求められるのですか？
No.60151 - 2019/07/26(Fri) 00:46:32
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
私は以前から
「座標は関係ない。図は左右反転しても証明には何の影響も与えない」
「従って同じ図をわざわざ左右反転しても何の意味もない」
と「何度も」書いていますよね。
ですから座標が(cosθ,sinθ)だろうが(-cosθ,sinθ)だろうが、
あるいは90°回転して(sinθ,cosθ)になっていようと、どの場合でも
長さは-cosθとsinθで同じですから、証明は一字一句全く同じになります。
図の向きや表裏で証明が変わることはありません。
（わざわざ「座標は○○」などと必要ないことが書いてあれば別ですが）
No.60152 - 2019/07/26(Fri) 04:27:58
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
どうもありがとうございます。
なるほど、長さ-cosθ,sinθから-tanの加法定理の式を導いて、
tanの加法定理とする事で90°<θ<180°(座標cosθ,sinθの)でのtanの加法定理が導けるのですね！
正しいでしょうか。
No.60155 - 2019/07/26(Fri) 14:19:54
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
「(座標cosθ,sinθの)」が余計ですが、
それがなければ正しいです。
何度も言っているように、座標は関係ありません。
No.60156 - 2019/07/26(Fri) 14:33:20
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
なるほど、確かに座標が無くても長さ-cosθ,sinθから-tanの加法定理の式が正に値なので、図より90°<θ<180°でのtanの加法定理（負の値）となるほは必然ですからね。
らすかるさんの解き方がより深く理解できました。
座標は図にもいらないし、計算にもいらないですからね。
考えは正しいでしょうか？
No.60157 - 2019/07/26(Fri) 15:00:50
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
座標がなくても式と図から-tan の加法定理は正とわかるので、tan の加法定理は負とわかる。そして、- tanの加法定理は左側の上向の斜辺を表すため、tan (θ± dθ)は右側の下向きの斜辺を表すとわかるため座標がなくても求めたいものがわかるわけですね！
No.60158 - 2019/07/26(Fri) 15:48:56
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> 考えは正しいでしょうか？
おっしゃる意味がよくわかりませんので、
正しいかどうかも判断できません。

> - tanの加法定理は左側の上向の斜辺を表すため、
どういう意味かよくわかりませんが、
一般的にはtanは縦辺と横辺の比であって、斜辺は表しません。

# これ、ずっと続けるんですか？
# いいかげん終わりにしたいんですが。
No.60160 - 2019/07/26(Fri) 19:52:16
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
わかりにくくてすいません。
ここで終わりにします。
ありがとうございました。
No.60165 - 2019/07/26(Fri) 23:47:11
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
度々すいません、最後に一つだけお聞きしたいのですが、
今回の求め方以外で90°＜θ＜180°の時のtanの加法定理の式の求め方はないのでしょうか？
ないならば今回の式を使わせて頂きます。
No.60176 - 2019/07/27(Sat) 18:20:24