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記事No.60083に関するスレッドです
★ (No Subject) / 柵
x=a+b
y=b+c
z=c+a
0≦a≦2 0≦b≦2 0≦c≦2 で表される点(x,y,z)の存在範囲の体積をs,t,uを消去することから、x,y,zの不等式を得て、求めよ。

答えは16です。
よろしくお願いします。
No.60041 - 2019/07/22(Mon) 16:41:15
☆ Re: / らすかる
s,t,uとは何ですか？
No.60042 - 2019/07/22(Mon) 16:48:24
☆ Re: / 柵
打ち損じです。
すいません。 s,t,u→a,b,c
No.60043 - 2019/07/22(Mon) 17:59:58
☆ Re: / X
質問を二つほど。

1:
問題文に書かれている通りにx,y,zの不等式を
求めることはできましたか？

2:
問題の出典は何ですか？
(大学受験の範囲か、それを超える範囲かを知りたいので)
No.60044 - 2019/07/22(Mon) 19:15:06
☆ Re: / 関数電卓
いろいろ計算した結果、図の立体の境界面および内部になるようです。体積は、z 軸に垂直な断面 (y＝±x に平行な 2 辺をもつ長方形) を積分し 16 になりました。
No.60083 - 2019/07/24(Wed) 09:22:36
☆ Re: / らすかる
体積は、(簡単ではありませんが)積分を使わずに変形で求めることもできますね。

出てくる不等式は
0≦x-y+z≦4
0≦x+y-z≦4
0≦-x+y+z≦4
回転移動で体積は変わらないので
z軸に関して45°回転することにして
X=(x-y)/√2, Y=(x+y)/√2, Z=zとおいて整理すると
0≦(√2)X+Z≦4
0≦(√2)Y-Z≦4
0≦-(√2)X+Z≦4
今度はY軸に関してα(sinα=-√(2/3))回転することにして
x={X+(√2)Z}/√3, y=Y, z={-(√2)X+Z}/√3とおき直して整理すると
（以前のx,y,zとは無関係）
0≦(2√6)x-(√3)z≦12
0≦(3√2)y-(√6)x-(√3)z≦12
0≦(√3)z≦4
この立体は等積変形によって
0≦(2√6)x≦12
0≦(3√2)y≦12
0≦(√3)z≦4
すなわち
0≦x≦√6
0≦y≦2√2
0≦z≦4√3/3
となり、これは直方体なので、体積は(√6)(2√2)(4√3/3)=16
No.60087 - 2019/07/24(Wed) 13:32:55