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記事No.60166に関するスレッドです
★ cosθの幾何学的な微分について。 / マーク42
cosθの微分を幾何学的に解くサイトがあるのですが、
d cosθは負の値なのでしょうか？
もしそうだとしたら長さは負では表せないのでサイトの図は正しくないのでしょうか？
出来ればらすかるさんにお答えして頂けるとありがたいです。

サイトはこちらです。
http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/sizensuugaku/lec8_diffcos.html
No.60166 - 2019/07/27(Sat) 14:58:52
☆ Re: cosθの幾何学的な微分について。 / マーク42
d cosθが負の値ならば= sinθ×dθは正であるため
-d cosθ= dθ× sinθは成り立ちますが、図形としては成り立たないので悩んでいます。
No.60167 - 2019/07/27(Sat) 15:00:57
☆ Re: cosθの幾何学的な微分について。 / らすかる
長さが正でも、長さの変化量は負になり得ます。
dcosθの意味はcosθからcos(θ+dθ)までの変化量、つまり
dcosθ=cos(θ+dθ)-cosθですね。
No.60168 - 2019/07/27(Sat) 15:05:03
☆ Re: cosθの幾何学的な微分について。 / マーク42
ということは、変化量という意味では長さが負でも問題ないという事でしょうか？

ならば、変化量は長さではなく、cos(θ+dθ)とcosθという長さにより負の変化量が出たわけでしょうか？
No.60169 - 2019/07/27(Sat) 15:14:30
☆ Re: cosθの幾何学的な微分について。 / らすかる
長さの変化量は長さではありません。
（「符号付き長さ」とも言えますが、「符号付き長さ」は単なる「長さ」とは違います。）
cos(θ+dθ)の長さからcosθの長さを引いたものです。
No.60170 - 2019/07/27(Sat) 15:43:06
☆ Re: cosθの幾何学的な微分について。 / マーク42
なるほど。
なぜ長さから長さを引いた変化量は長さではないのですか？
負の符号がつく時があるためでしょうか？
No.60171 - 2019/07/27(Sat) 16:04:26
☆ Re: cosθの幾何学的な微分について。 / らすかる
なぜ長さから長さを引いた変化量が長さだと思うのですか？
例えば時速20kmで走っている自動車が時速30kmに加速したとき
30km-20kmは「時速の増加分」であって「時速」ではありませんよね？
他に、2つの時刻の差、例えば(16時30分)-(16時20分)=(10分)の
「10分」は時刻ではなく時間ですよね？
引いたものが常に同じ種類のものと思っているのが間違いです。
（もちろん、同じ種類のものになる場合もたくさんありますが）
No.60172 - 2019/07/27(Sat) 16:23:04
☆ Re: cosθの幾何学的な微分について。 / マーク42
すごくわかりやすいです。理解できました。
変化量は長さとはちがうもので正負のある、長さでないものとして理解します。
どうもありがとうございます。
No.60174 - 2019/07/27(Sat) 17:47:26
☆ Re: cosθの幾何学的な微分について。 / マーク42
ちなみに、数学においてどんな問題や難しい公式に関しても長さは絶対に正の値なのでしょうか？
擬リーマン幾何とかでは長さは負になることがあるとか言っていた人が過去にいたので気になりました。
No.60178 - 2019/07/27(Sat) 18:23:15
☆ Re: cosθの幾何学的な微分について。 / らすかる
私は長さが負になる数学は聞いたことがありません。
（私の知識は多くありませんので、私が知らないだけという可能性は大いにあります。）
No.60180 - 2019/07/27(Sat) 19:19:47
☆ Re: cosθの幾何学的な微分について。 / マーク42
なるほど、長さは絶対に正になると思いたいです。
どうもありがとうございました。
No.60186 - 2019/07/27(Sat) 20:19:53