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記事No.60190に関するスレッドです
★ tanの加法定理を導く。 / マーク42
できればらすかるさんにお応えして頂きたいのですが、
過去に送った画像に関して間違いを見つけました。
角度αの位置がおかしかったとわかったのですが、
この角度αはθには影響しないのでこの画像から、すなわち二枚目に送る画像の式のdθを−dθにした式を導けると思ったのですが、導けませんでした。一枚目の画像の角度α以外に何が間違っているのでしょうか。
No.60189 - 2019/07/27(Sat) 20:58:55
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
こちらが、参考にした二枚目の画像です。
No.60190 - 2019/07/27(Sat) 20:59:37
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / らすかる
何を求めようとしてどういう手順でどういう式で求めているのか
よくわかりません。
「導けなかった」がどういう結果になって導けなかったのかも含め、導出手順を綺麗にまとめ直して貰えませんか？
No.60191 - 2019/07/27(Sat) 21:15:11
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
わかりにくくて申し訳ありません。
直ぐにまとめさせていただきます。

＞＞何を求めようとしてどういう手順でどういう式で求めているのか
よくわかりません。

-dθ＞0の時の一枚目に送った図からtan(θ−dθ)=の式を求めようとしました。
ちなみに、今気が付いたのですが、一枚目の図の他の間違えはcosθが-cosθでないところでしょうか？
No.60194 - 2019/07/27(Sat) 21:25:23
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
お待たせしました。まとまりました。
紙に書いた角度の条件で解いたところ
右辺は0.585、左辺は0.170となり、近似とはなりませんでした。
しかし、何が間違っているかわかりません。
No.60196 - 2019/07/27(Sat) 22:21:46
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
ちなみに、今回導けた式を整えようと画像の式にしようとしたんですが、できませんでした。
とはいえ、今回導いた式が正しいとしたら近似として使えるということでしょうか。
多分あってないと思いますが。
No.60198 - 2019/07/27(Sat) 23:07:13
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / らすかる
「−」の付け忘れが何ヶ所かあるのを見逃せば、
最後の行の直前まで合っています。
-tan(θ-dθ)=(LI+IJ)/(1-JK)ではありません。
-tan(θ-dθ)=(1-JK)/(LI+IJ)です。
よって
-tan(θ-dθ)=(1-JK)/(LI+IJ)
=(1-dθ/tanθ)/(-1/tanθ+(-dθ))
=(tanθ-dθ)/(-1+tanθ(-dθ))　（分子分母にtanθを掛けた）
=-(tanθ-dθ)/(1+tanθdθ)
と正しい式になります。
No.60199 - 2019/07/27(Sat) 23:25:55
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
わざわざありがとうございます。
なるほど、-1/tanθとなるところを符号を忘れて1/tanθと書いていました。毎度毎度ミスが多いくてすいません。
No.60200 - 2019/07/27(Sat) 23:55:25
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
>>-tan(θ-dθ)=(LI+IJ)/(1-JK)ではありません。
-tan(θ-dθ)=(1-JK)/(LI+IJ)です。
-tan(θ-dθ)は逆数ではないので(LI+IJ)/(1-JK)で良いと思っていたのですが、なぜ(1-JK)/(LI+IJ)となるのでしょうか？
No.60201 - 2019/07/28(Sun) 00:46:53
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
ちなみに、らすかるさんに教えて頂いた解き方とは異なり、dθ＞0の時、
負の座標（cosθ,sinθ）を-90°移動させて、
正の座標（-cosθ,sinθ）を作り、加法定理を導く図を作った結果-1/tanθより、加法定理は-1/tan（θ—dθ）=（1-tanθ*dθ）/（-tanθ+dθ）となりました。これは両辺の分母分子をひっくり返せば正しい式になります。
-1/tan（θ—dθ）などのように逆数であれば右辺も逆数になるためわかりやすいのですが、マイナスの符号がついてだけの-tan（θ—dθ）の右辺が逆数なのかわかりませんでした。
No.60202 - 2019/07/28(Sun) 01:02:15
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / らすかる
> -tan(θ-dθ)は逆数ではないので(LI+IJ)/(1-JK)で良いと思っていたのですが

「逆数ではないので」は意味不明です。
-tan(θ-dθ)がどこの辺とどこの辺の比かを考えましたか？
右辺を逆数にしてしまっているのはマーク42さんの方です。
No.60203 - 2019/07/28(Sun) 01:39:11
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
1-JK/LJです。なるほど、解き方により図の形が若干変わる為、θの位置や座標が変わる為、tan の加法定理の表し方が図により異なるがすべて正しい式になると理解できました。
本の図形ばかりにとらわれて本題の図のtan の加法定理の表し方を見失っていました。
どうもありがとうございます。
No.60205 - 2019/07/28(Sun) 08:46:53
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
度々すいません。今回は正の値しか扱えない為、負の座標であってもらすかるさんのやり方で長さを利用してtan の加法定理を求めました。
ですが教科書を読むとtan の加法定理は負の値も扱えるように思えたのですが、なぜtan (θ± dθ)(tan の加法定理)を導く際に負の座標を使わずに長さを利用したのでしょうか？
No.60208 - 2019/07/28(Sun) 09:56:28
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / らすかる
元々の主旨が「図形で求める」だったからです。
「図形で求める」と「座標で求める」は違います。
No.60209 - 2019/07/28(Sun) 10:24:22
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
あ、なるほど！
質問の主軸を忘れていました。
では、座標でとく場合は負の座標や負の dθでも構わないのでしょうか？
座標として解くのならば負の座標から図を作り、tan の加法定理を求めようと考えています。
No.60211 - 2019/07/28(Sun) 10:52:25
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / らすかる
負の座標はいいですが、dθは正です。
負の角度はx軸の正方向を基準として原点中心に時計回りに回った
「方角」を示すものであって、「角度の幅」を示すものではありません。
ですから、座標で求める場合はθは負でも良いですが、「角度の幅」である
dθは正でなければなりません。
図形で解く時にθが正でなければいけないのは、座標がなく「方角」がないためです。
No.60212 - 2019/07/28(Sun) 10:56:20
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
説明ありがとうございます。
では、 dθは幅を表す為、必ず正でなければならないとわかりました。
って事は三角関数を微分する際に出てくる dθも同じように (θ+dθ)-dθと式があるとしてdθ>0で無ければならないのでしょうか？
仮にそうならば幅を表す角度は絶対に正の値で無ければならないという事ですか？
No.60213 - 2019/07/28(Sun) 11:04:33
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / らすかる
> 三角関数を微分する際に出てくる dθも同じように (θ+dθ)-dθと式があるとして
> dθ>0で無ければならないのでしょうか？
違います。そのdθは負の場合も含みます。
座標上で視覚的に求める時は正でなければなりませんが、
最初から数式的に求めた場合は正でも負でも成り立ちます。
従って「dθが正でも負でも成り立つtan(θ+dθ)の式」を
図形的（視覚的）に導出する場合は、
「dθ＞0のときのtan(θ+dθ)の式」と
「dθ＞0のときのtan(θ-dθ)の式」の
両方を示す必要があります。
No.60215 - 2019/07/28(Sun) 11:41:00
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
ありがとうございます。
過去に数式的な cosθの微分を図形的に求めようとした際はdθの値は正でも負でも正しい式は導けたのですが、これは間違っていたという事だったのでしょうか。
No.60216 - 2019/07/28(Sun) 12:09:29
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
色々考えたのですが、dθが正でも負でも微小である為、図形的であってもそれなりに近似値が導けるのではないかと思いました。
あとでtan の加法定理に関してdθが負の場合で、dθが正の場合にどれくらい近似するのか調べてみます。
No.60219 - 2019/07/28(Sun) 13:26:32
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / らすかる
> dθの値は正でも負でも正しい式は導けたのですが、
> これは間違っていたという事だったのでしょうか。
dθ＜0でθ+(-dθ)としているという意味でしたら、
それは本質的にdθが正の場合を求めているだけであり、
負の場合を求めていることにはなりません。
（単にdθ＞0で「dθ」をdθ＜0で「-dθ」に書き換えただけに過ぎません。）
「dθ＜0として図形上に「-dθ」をとっても意味がない」と
以前書きましたが、忘れましたか？

> 色々考えたのですが、dθが正でも負でも微小である為、
> 図形的であってもそれなりに近似値が導けるのではないかと思いました。
いいえ、図形上に負の角度は描けませんので導けません。
値がたまたま合っても、それは元々「正でも負でも同じ式になる」から
偶然合っただけであり、図形的に求めたことにはなりません。
No.60226 - 2019/07/28(Sun) 16:32:31
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
返信ありがとうございます！

>dθ＜0でθ+(-dθ)としているという意味でしたら、
>それは本質的にdθが正の場合を求めているだけであり、
>負の場合を求めていることにはなりません。
>（単にdθ＞0で「dθ」をdθ＜0で「-dθ」に書き換えただ>けに過ぎません。）
>「dθ＜0として図形上に「-dθ」をとっても意味がない」
>と以前書きましたが、忘れましたか？
覚えています。なのでdθ＜0の場合は図形上に「-dθ」をとっても中身は正のtan(θ＋dθ)を計算しているようなものなので意味がないと教わりました。

>値がたまたま合っても、それは元々「正でも負でも同じ>式になる」から
>偶然合っただけであり、図形的に求めたことにはなりま>せん。

先ほど図を使いdθが負の場合で解いてみました。
確かにほぼ同じ値が導けましたがdθは図形では負として置けないため、図形的でな計算ではなく、数式的なものを図形みたいにしただけのものでした。
No.60236 - 2019/07/28(Sun) 20:15:18
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
>>>値がたまたま合っても、それは元々「正でも負でも同じ>式になる」から
偶然合っただけであり、図形的に求めたことにはなりま>せん。

図形的に解いていないだけで数式的には正しいのでしょうか？
ほぼ同じ値として近似値は導けましたが教科書に書いてあるようなtanの加法定理の式にはならなかったのですが。
No.60238 - 2019/07/28(Sun) 21:25:26
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / らすかる
> 図形的に解いていないだけで数式的には正しいのでしょうか？
主語を書いて下さい。

> ほぼ同じ値として近似値は導けましたが教科書に書いてあるような
> tanの加法定理の式にはならなかったのですが。
どのように導けて、どういう式になって、
教科書に書いてあるどんな式と同じにならなかったのか、
具体的に書いて下さい。
No.60240 - 2019/07/28(Sun) 21:37:23
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
図形で解いてはいけない形でdθを置いたため、式にしても教科書に載った式にならないのは当然なので仕方ないです。
なので式的にも正しくはないです。値はほぼ同じというだけです。
式のみで解くならばdθは負でもいいですが、
図だと負のdθは表せないので数式的にしても間違った式になる、、、ということでしょうか？
それとも数式としては正しいが図形的な解き方としては間違いということでしょうか？
No.60241 - 2019/07/28(Sun) 21:38:03
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / らすかる
> 図だと負のdθは表せないので数式的にしても間違った式になる、、、
> ということでしょうか？
> それとも数式としては正しいが図形的な解き方としては
> 間違いということでしょうか？
私は読解力がありませんので、何のことを言っているのかよくわかりません。
具体的に例を挙げて書いて下さい。
No.60242 - 2019/07/28(Sun) 21:41:29
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
すいません。
書き直します。
こちらの画像の式がtan(θ-dθ)の式にならないと思うのですが、
No.60243 - 2019/07/28(Sun) 21:42:27
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / らすかる
> こちらの画像の式がtan(θ-dθ)の式にならないと思うのですが、
確かになりませんが、(今までの経過から考えた予想ですが)
おそらくこの式の導出方法が間違っているだけではないかと思います。
この式はどうやって出した式ですか？
No.60244 - 2019/07/28(Sun) 21:47:29
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
お待たせしました。
今回はdθを負の値として、導いてみました。
ちなみに、tanの加法定理の公式は全て正の値として長さから導かれましたが、ということは正の値ではない負の値からはtanの加法定理は導けないということはあるのでしょうか？

私は負の座標を代入しても正しいtanの加法定理の値は導けるため負の座標からでもdθが負でなければ導けると思います。
No.60245 - 2019/07/28(Sun) 21:57:18
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / らすかる
結構間違いだらけです。
Fの真下の頂点をGとして、
∠OFG=α、∠COD=αということはあり得ません。
DC=-1/tan(θ+dθ)です。
辺の比を考えるのに
sinθ：cosθ=1：DC
のようにすることはできません。書くなら
sinθ：-cosθ=1：DC
です。しかしこの式も正しくありません。
∠CDO=θ+dθですから、1：DC=sin(θ+dθ)：cos(θ+dθ)です。
同様に
1：DO=sinθ：1も誤りで、正しくは
1：DO=sin(θ+dθ)：1です。
また、最後の式で
分子に1-EFを書いていますが、
1-EFはθ-dθに対する長さではなくθに対する長さです。

とりあえず気づいた点だけ書きました。
修正して下さい。
No.60247 - 2019/07/28(Sun) 22:11:43
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
あの、∠CDO=θ+dθに関してなのですが、
-dθは負の値なので、θ＋(—dθ)とすれば正のθから負の値—dθが引けると思うのですが。
なので∠CDO=θ—dθと考えているのですが。間違っていたら申し訳ありません。
No.60248 - 2019/07/28(Sun) 22:29:09
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / らすかる
> 今回はdθを負の値として、導いてみました。
> -dθは負の値なので、
この二つは矛盾しています。
角度は正でなければなりませんので、
-dθは正でなければなりません。

それに、dθが正か負かにかかわらず、
(Oの右側に点Pをとって)
∠FOP=θ
∠FOD=-dθ
から
∠DOP=θ-(-dθ)=θ+dθ
tan∠CDO=tan∠GOD=-tan(∠DOP)=-tan(θ+dθ)です。
θの中に-dθが入っているのですから、θ-(-dθ)=θ+dθにしかなりません。
θ-dθはこの図にない角度です。

# ∠CDO=θ+dθは間違いでした。
# ∠CDO=180°-(θ+dθ)でした。
No.60250 - 2019/07/28(Sun) 22:41:49
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
やはり、図形から数式を導くとしたらdθ（負）は使えないのですね。（仮に使ったとしても教科書に書いたtanの加法定理とは異なる式となり、その式から値を導いても値がほぼ同じなだけの式でしかない。）

はい、やり直します。
No.60251 - 2019/07/28(Sun) 23:22:57
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
書き直せました！
ただ、この式からtan(θ+dθ)は導けるのか心配です。
No.60254 - 2019/07/28(Sun) 23:55:23
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / らすかる
この図では難しいのでは？
昔あったtan(α+β)の図でθ=180°-αとなるようにθをとるのが簡単だと思います。

それにしても、なぜまた同じことを一からやるのですか？
以前やった、鈍角のθに対するtan(θ-dθ)の図と式で
dθを「-dθ」に書き換えるだけで終わりだと思いますが。
No.60256 - 2019/07/29(Mon) 00:11:53
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
すいません。何か勘違いしていたようで同じことをやっていました。
ただ、図形から数式を導くとしたらdθ（負）は使えないとの事なので。仮に使ったとしても教科書に書いたtanの加法定理とは異なる式となるのか、そして、その式から値を導いても値がほぼ同じなのかを知りたかったので-dθを負としたのですが、やはり図形で解く際に-dθなど負は使ってはいけないと実際に計算して正しい式が導けず、値だけがほぼ同じということがわかったので納得できました！

画像は-dθを正とおいた場合の展開です。過去の図を参考に簡単にしました。
No.60257 - 2019/07/29(Mon) 00:52:51
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
ちなみに、角度dθは正として、負の座標からtan(θ+dθ)を導こうとしたのですが、画像の図と計算過程は正しいでしょうか。
No.60258 - 2019/07/29(Mon) 01:39:33
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / らすかる
> 画像は-dθを正とおいた場合の展開です。過去の図を参考に簡単にしました。
正しくありません。
OC：1=1：cosθは誤りです。
OC：1=1：-cosθです。
その先cosθはすべて-cosθ、tanθはすべて-tanθにする必要があります。
最後の式のtan(θ+dθ)も-tan(θ+dθ)になります。

> 負の座標からtan(θ+dθ)を導こうとした
意味不明です。
そこに書いてある解き方は「座標で解く」解き方ではなく
「図形で解く」解き方です。
また、解き方にかかわらず「負の長さ」は誤りです。
（「座標で解く」時に「長さ」を持ち出す場合でも、長さは常に正です。
　負でも良いのは「座標」だけです。）
具体的には「1：DC=sinθ：cosθ」は誤りです。
DC＞0なので「1：DC=sinθ：-cosθ」としなければなりません。
よって正しくはDC=-1/tanθとなります。
またEFのtanθ・dθも誤りです。正しくは-dθ/tanθです。

# 「長さは常に正」と理解したのではなかったのですか？
# 全く学習していませんね。
No.60259 - 2019/07/29(Mon) 05:05:14
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
返信ありがとうございます。
＞＞# 「長さは常に正」と理解したのではなかったのですか？# 全く学習していませんね。
いえ、伝え方が悪かったです。
負の座標としてtanの加法定理を求めようとしました。
図形の解き方のような、座標を長さのような書き方をしてしまい申し訳ありません。負の座標から解きたいです。
No.60257とNo.60258はdθは正として、負の座標として解こうとしたものです。
信じて頂けないかもしれませんが、ちゃんと理解できていることもあります。
No.60262 - 2019/07/29(Mon) 12:28:04
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
ちなみに、No.60257とNo.60258のdθは正として、負の座標として展開する場合、正しいtanの加法定理は導けるのでしょうか。
No.60263 - 2019/07/29(Mon) 12:34:41
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / らすかる
座標で計算する場合でも
OC：1=1：cosθは間違いです。
「OC」は長さで正ですから、
OC：1=1：-cosθと書かなければいけません。
それに60258の図でDとCの間にDとCから短い線を引いて
1/tanθと書いてあるのも間違いです。
（下の方で短い線の間に書いてあるcosθも間違いで-cosθとしなければいけない）
この書き方は長さですから、-1/tanθと書かなければいけません。
座標を書くならこの書き方はダメです。
（忖度できるようなレベルではなく、完全な間違いです。）

それに、座標で求める場合でも
直角三角形の辺の比から長さを求める場合は正の値にしないといけません。
ですから、60258の図から求めるなら
OC：DC=sinθ：-cosθから　←これは長さ
DC=-1/tanθなので　←これも長さ
Dの座標は(0,1)-(DC,0)=(1/tanθ,1)　←これは座標
OD：OC=1：sinθから　←これは長さ
OD=OC/sinθ=1/sinθ　←これも長さ
OD：FD=OB：AB=1：dθから　←これも長さ
FD=dθ・OD=dθ/sinθ　←これも長さ
FD：ED=1：sinθから　←これも長さ
ED=FD・sinθ=dθ　←これも長さ
∴Eの座標はD-(ED,0)=(1/tanθ,1)-(dθ,0)=(1/tanθ-dθ,1)　←これは座標
FD：EF=1：-cosθから　←これは長さ
EF=-cosθ・FD=-dθ/tanθなので　←これも長さ
Fの座標はE-(0,EF)=(1/tanθ-dθ,1)-(0,-dθ/tanθ)=(1/tanθ-dθ,1+dθ/tanθ)　←これは座標
従ってtan(θ+dθ)=(1+dθ/tanθ)/(1/tanθ-dθ)=(tanθ+dθ)/(1-tanθdθ)
となります。
（一部「≒」とすべきところも「=」と書いています。）

# 座標と長さを混ぜこぜにしてはいけません。
# 座標はすべて(x,y)の形式で書くべきです。
# そして座標以外の長さと角度はすべて正の値でなければなりません。
# 「座標で解く」からといって「負の長さ」や「負の比」が使えるわけではありません。
# 負の値にしてよいのは、座標だけです。

# 60257はこれを参考にやってみて下さい。
# ただし図の中の「-dθ」は「dθ」に直すべきですし、
# dθの幅を表す弧に矢印を付けてはいけません。
# また∠ODFはθ+dθではありませんので修正して下さい。
No.60264 - 2019/07/29(Mon) 13:07:15
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
はい！ありがとうございます！
ご迷惑ばかりおかけしていますが、らすかるさんから教えて頂いた知識や解法を絶対に無駄にしたくないので書き直させて頂きます。どうかしばしお待ちください。

＞＞それに、座標で求める場合でも
直角三角形の辺の比から長さを求める場合は正の値にしないといけません。
なるほど、負の座標と言えど比で計算する際は「長さ」として扱うため—cosθとしたのですね。

＞＞# ただし図の中の「-dθ」は「dθ」に直すべきですし、
# また∠ODFはθ+dθではありませんので修正して下さい。
わかりました。-dθをdθにすると∠ODFはθ—dθとなります。


あの一つ疑問なのですが、負の座標でも長さを導くことでtanの加法定理を導けますが、なぜ正の値となる変数から導いたのに負の値が変数に代入されたりしても正しい答えが出るのでしょうか？

少し気になり負の座標をそのまま、その座標のcosθを比でもそのまま扱って式を導いても近似できるのか調べてみました。ちなみに、
tan(θ+dθ)=(tanθ+dθ)/(1-tanθdθ)ではなく、
tan(θ+dθ)=(tanθ—dθ)/(1+tanθdθ)となりましたが、ほぼ近似値が得られました。ですが、正しい求め方でないので、意味はないです。
No.60265 - 2019/07/29(Mon) 13:59:27
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
＞＞# 座標と長さを混ぜこぜにしてはいけません。それに、座標で求める場合でも
直角三角形の辺の比から長さを求める場合は正の値にしないといけません。
負の座標cosθと負の座標cosθを使った比の計算で導けた長さを使うと座標と長さを混ぜこぜにしたためダメということですか？

# 負の値にしてよいのは、座標だけです。
座標が負の値でも角度を利用して負の座標から長さを導きtanの加法定理が導ける、しかしtanの加法定理に代入する変数は負でも正でもよい、正の値の変数のみから作られたのに、なぜ負の値が代入できるのか。また座標と長さを混ぜこぜにしてはダメなことからtanの加法定理に代入する変数が負の座標の値だとしたら、長さで作った式に座標の値を代入するためルール違反にならないのでしょうか。
No.60266 - 2019/07/29(Mon) 14:11:10
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / らすかる
> 負の座標cosθと負の座標cosθを使った比の計算で導けた長さを使うと
> 座標と長さを混ぜこぜにしたためダメということですか？
「座標の比」などというものは普通はありません。
比は「図形の相似」を使って計算しているのですよね？
ですから比の計算には「座標」は（正であろうが負であろうが）使えません。
図形の相似を使って比の計算ができるのは、「長さ」だけです。

> 座標が負の値でも角度を利用して負の座標から長さを導きtanの加法定理が導ける、
> しかしtanの加法定理に代入する変数は負でも正でもよい、正の値の変数のみから
> 作られたのに、なぜ負の値が代入できるのか。
正の値の変数のみから作られたtan(θ+dθ)のdθには負の値は代入できません。
このdθに負の値が代入できると思っているなら、それは間違いです。
tan(θ+dθ)とtan(θ-dθ)の両方を導くことで、負の値が代入できるようになります。
tan(θ+dθ)のdθに負の値を代入するのはtan(θ-dθ)のdθに正の値を代入するのと
全く同じことですから（結果の式が同じなので）、負の値が代入できるようになります。

> また座標と長さを混ぜこぜにしてはダメなことからtanの加法定理に代入する変数が
> 負の座標の値だとしたら、長さで作った式に座標の値を代入するためルール違反に
> ならないのでしょうか。
これはよく意味がわかりませんでしたが、
「長さで作った式に座標の値を代入する」という考え方は間違いです。
「長さを計算することによって座標を計算して作った式」です。
No.60267 - 2019/07/29(Mon) 16:31:26
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
どうもありがとうございます。
また何か勘違いしていたみたいです。
できる限り早く正しく理解してご迷惑をおかけしないようにこのスレも終わらせるのでどうかもう少しお付き合いください。

なるほど、では今までやってきたように90°<θ<180°で負の座標からtan(θ± dθ)が導けたため、負の座標で dθが正の場合と負の場合でもtan(θ± dθ)が利用できるとわかったという事でしょうか？
No.60277 - 2019/07/29(Mon) 19:48:43
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
まとめると0°<θ<90°で正の値の変数のみから作られたtan(θ±dθ)と90°<θ<180°で負の座標を長さとして置いて、負の座標での負の値のtan(θ±dθ)が導けたため、また、その式が0°<θ<90°の時のtan(θ±dθ)と同じ式であるため、tan(θ±dθ)に負の dθやtan(θ±dθ)の式に含まれる負の値cosθや sinθが代入できるとわかったのですか？
No.60279 - 2019/07/29(Mon) 19:55:08
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
ちなみに、No.60254の画像の式からはtan(θ+ dθ)は難しいだけで求まるのでしょうか？
多分求まると思うのですが、確認として聞かせて頂きました。
No.60281 - 2019/07/29(Mon) 20:18:44
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / らすかる
>60277
そうです。

>60279
最初が「まとめると」なのに内容は60277より
まとまっておらず、内容も意味不明です。
例えば「負の座標を長さとして置く」
「tan(θ±dθ)の式に含まれる負の値cosθやsinθ」
は何を言っているのかわかりません。
（数学的・論理的に正しい文章でないと私には理解できません）

>60281
求まるかどうか考えていませんので、求まるかどうかわかりません。
（素直には求まりそうにないので、もし求まるとしても面倒になりそうで
　求まるかどうかすら考えたくもありません）
No.60282 - 2019/07/29(Mon) 20:26:51
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
ありがとうございます。
負の座標( cosθ, sinθ)を長さとしてtan の加法定理を求めました。
という事は、負の座標の時のtan の加法定理の値を求める際は長さからtan の加法定理を導いたため、座標( cosθ, sinθ)を代入するのではなく、長さ- cosθ, sinθを代入するのですか？
ちなみに、tan の加法定理のtan θの値を求めるには- cosθの-cosθには座標 cosθの値ではなく、90°<θ<180°の左側の図から展開してできた右側の正の長さ- cosθである -cosθを代入すれば良いと考えたのですが正しいですか？
No.60284 - 2019/07/29(Mon) 20:47:58
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
tan の加法定理のtan θの値を求めるには- cosθは長さなので座標のcosθを代入するのはおかしいと思ったのですが、長さとしてcosθを求めたりはできるのでしょうか？
もちろん、正の座標での長さ- cosθがわかれば、それを式に代入できればいいなと思います。
No.60285 - 2019/07/29(Mon) 20:51:12
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / らすかる
> 負の座標( cosθ, sinθ)を長さとして
「負の座標( cosθ, sinθ)を長さとして」とはどういう意味ですか？
座標は点の位置、長さは点の距離なので「座標を長さとする」は
「点の位置」を「点の距離」にするという意味になりますが、
これは意味が通じません。

> 座標( cosθ, sinθ)を代入するのではなく、長さ- cosθ, sinθを代入するのですか？
どこに代入するのですか？
代入した覚えはありませんが。

> ちなみに、tan の加法定理のtan θの値を求めるには- cosθの-cosθには
> 座標 cosθの値ではなく、90°<θ<180°の左側の図から展開してできた
> 右側の正の長さ- cosθである -cosθを代入すれば良いと考えたのですが正しいですか？
「代入」が何の話かわかりませんので、正しいかどうかもわかりません。
60285でも「代入」と書かれていますが、
今まで式を求める途中に「代入」という言葉は一度も出てきていませんので
何のことを言っているのかわかりません。
No.60287 - 2019/07/29(Mon) 22:02:31
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
すいません。tan(θ±dθ)の値の求め方が知りたかったのです。
90°＜θ＜180°での図に関して、例えばtan(θ±dθ)の値を求めたいとします。
値を求めるにはtan(θ±dθ)の式の右辺のtanθやdθに値を代入する必要があると思います。
No.60288 - 2019/07/29(Mon) 22:15:38
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / らすかる
θとdθに値を代入するだけですが…
60196でθ=100°、-dθ=0.001と書いてあったのは
θとdθに値を代入したのではないのですか？
No.60293 - 2019/07/29(Mon) 23:07:11
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
私は本当に大バカ者です。だいぶ悲しくなりました。
本当に何やってんだか、、、。
仰る通り、-cosやsinθの値なんて全く必要なかったです。
本当にごめんなさい。こんな馬鹿な質問を繰り替えさないように学習します。
こんな私にここまで付き合ってくださり本当にありがとうございます。らすかるさんには本当に感謝しかありません。

あの、先ほどのらすかるさんのお話で気になったのですが、dθに負が代入できるのは
「tan(θ+dθ)とtan(θ-dθ)の両方を導くことで、負の値が代入できるようになります。」
とのことで、dθに負が代入できるようにするにはtan(θ-dθ)を導けばいいと思いました。しかし、図形で解く場合はdθは負ではいけないのでdθは正としてtan(θ-dθ)を導けばよいと考えました。
ですが、それではdθに負の値が代入されるわけではなく、-の符号によって正のdθが引かれているだけで負のdθを代入したわけではないと考えました。
なのでdθを負として置いたtanの加法定理は図形からはみちびけないということでしょうか。
No.60294 - 2019/07/29(Mon) 23:20:28
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / らすかる
はい、図形的には角度は正しかあり得ませんので、dθを負とした加法定理は導けません。
No.60295 - 2019/07/30(Tue) 00:03:55
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
もう一つあるのですが、tan100°は負の値になります。
今回の式は図形から導いたためtanθ自体は長さから導かれました。なのでtanθが負にならない範囲でのθしか代入できないと思ったのですが、この考えは正しいでしょうか？
No.60296 - 2019/07/30(Tue) 00:11:57
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
図形で解くと融通が利かない場合が多いので、座標的に解きたいのですが、その場合は角度は負でも良いと思いますが、負の座標に関しては長さとしてしか利用できないのでしょうか？
No.60300 - 2019/07/30(Tue) 00:32:32
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / らすかる
> 今回の式は図形から導いたためtanθ自体は長さから導かれました。
> なのでtanθが負にならない範囲でのθしか代入できないと思ったのですが、
> この考えは正しいでしょうか？
正しくありません。
それがもし正しければ、「90°＜θ＜180°の場合の式は正しくない」ということに
なってしまいます。
長さから「-tan(θ+dθ)」を求めたので、tanθが負でも問題ありません。

> 図形で解くと融通が利かない場合が多いので、座標的に解きたいのですが、
> その場合は角度は負でも良いと思いますが、
どの角度も負で良いわけではありません。
x軸の正方向を起点にして反時計回りが正、時計回りが負と決めた「θ」だけは負でも良いですが、「dθ」は負ではダメです。

> 負の座標に関しては長さとしてしか利用できないのでしょうか？
意味不明です。
No.60301 - 2019/07/30(Tue) 01:04:53
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
すいません。
＞＞長さから「-tan(θ+dθ)」を求めたので、tanθが負でも問題ありません。
確かに、負のtan(θ+dθ)を求められたので、なにも問題ありませんでした。ありがとうございます。
よくよく考えたらtan(θ+dθ)は分子分母で変化量を表しているため長さではないです。
なので負の値が導かれても変化量からできた値なのでなにも不思議ではありません。tanθも同様ですが。
そう考えると、座標を表すのか長さを表すかは結構重要ですね。tanが変化量を表すので座標でも長さでもないですが、
例えばcos180°は座標としては-1ですが、長さとしては1なので。座標としてみるのか、長さとしてみるかは大事だと改めてわかりました。

＞＞x軸の正方向を起点にして反時計回りが正、時計回りが負と決めた「θ」だけは負でも良いですが、「dθ」は負ではダメです。
図形は仕方ないですが、座標でも負のdθが使えないとは、、、幾何学大好き人間としては心が折れます。
だとすると幾何学の世界ではdθは負としては使えないのでしょうか？
No.60303 - 2019/07/30(Tue) 02:07:27
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / らすかる
少なくとも視覚的に確認できる図形という意味では
dθが負というのは矛盾しますので、負はダメです。
x軸正方向を起点とするθが負でもよいのは、
θが「方角」を表していると考えることが出来るからです。
それに対してdθは「角度の幅」でしかありませんので、
負にはなり得ません。
座標が「点の位置」を表していて負でもよく、
長さが「2点間の距離」を表していて必ず正であることと同類です。
No.60304 - 2019/07/30(Tue) 05:44:21
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
ありがとうございます。
とりあえずいままでのラスカルさんとのやり取りを復習するために、勉強に戻ります。
ここまで付き合って頂き、本当にありがとうございます。
何かお返しができればと思ったのですが、何もお返しできないのが残念です。
No.60313 - 2019/07/30(Tue) 09:03:24
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / マーク42
> 色々考えたのですが、dθが正でも負でも微小である為、
> 図形的であってもそれなりに近似値が導けるのではないかと思いました。
いいえ、図形上に負の角度は描けませんので導けません。
値がたまたま合っても、それは元々「正でも負でも同じ式になる」から
偶然合っただけであり、図形的に求めたことにはなりません。

の会話に関してなのですが、図形的でないとすると何的に求めたのでしょうか。数式的ですか。
No.60314 - 2019/07/30(Tue) 09:06:11
☆ Re: tanの加法定理を導く。 / らすかる
「導けない」ので「何的にも求めたことになりません」。
つまり「求まった」ように見えても、正しくないやり方で
「求まった」ものはどういう結果であっても意味のないものです。
例えば「1×2×3」を求めるのに間違えて「1+2+3」として
計算してしまったらたまたま正しい答えになりますが、
求め方が正しくないのでその答えは意味がありません。
それと同じです。

# 「勉強に戻ります」と言いながら終わらないのですね。
# あとから疑問がわいてくるということは、
# 今までの回答をすべて理解していない、あるいは
# きちんと理解していないか、または理解していたのに
# 忘れてしまったかのどれかだと思いますが、
# それをやられると一生終わりません。
# ですから、このレスで完全終了とします。
# （もうここは見ません）
No.60316 - 2019/07/30(Tue) 09:20:13