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記事No.60421に関するスレッドです
★ (No Subject) / パンチ
次の定積分の値を求めよ。
答えはπ/8です。解説をお願いします。
No.60403 - 2019/08/01(Thu) 18:37:51
☆ Re: / 関数電卓
被積分関数を
　(Ax＋B)/(x^2−2)＋(Cx＋D)/(x^2−2x＋2)
と部分分数分解します。通分して係数比較し、A,B,C,D
を定めて下さい。
これが、まず第一歩です。
No.60406 - 2019/08/01(Thu) 21:14:19
☆ Re: / パンチ
a=b=d=1,c=-1となりましたが
あっていますか、、
No.60408 - 2019/08/01(Thu) 22:45:48
☆ Re: / 関数電卓
> a=b=d=1,c=-1
あっていません。通分して元に戻るか確認して下さい。
No.60411 - 2019/08/01(Thu) 23:00:45
☆ Re: / パンチ
検算すると間違った答えにしかなりません。どのようになるのでしょうか？
No.60414 - 2019/08/01(Thu) 23:16:56
☆ Re: / 関数電卓
A＝1/2, B＝0，C,D はご自分で。
積分値が山頂だとすれば、ここはまだ二合目です。
No.60417 - 2019/08/01(Thu) 23:24:23
☆ Re: / パンチ
ここまで考えてみましたが計算につまりました、、
アドバイスをお願いしたいです
No.60421 - 2019/08/02(Fri) 11:07:50
☆ Re: / らすかる
(x-2)/(x^2-2x+2)=(x-1)/(x^2-2x+2)-1/(x^2-2x+2)
のように分けると、前者は
(x-1)/(x^2-2x+2)=(1/2)(2x-2)/(x^2-2x+2)=(1/2)(x^2-2x+2)'/(x^2-2x+2)
なので不定積分が(1/2)log(x^2-2x+2)となり、
後者はx-1=tanθとおけば解けます。

#その前までの計算が合っているかどうかは確認していません
No.60427 - 2019/08/02(Fri) 12:18:08
☆ Re: / パンチ
解けました。ありがとうございます。
質問なのですが、後者はx-1=tanθと置く発想はどのように考えたら良いですか？当たり前の事でしょうか？
また、これ以上シンプル？に解く事は難しいでしょうか？
No.60430 - 2019/08/02(Fri) 12:47:09
☆ Re: / らすかる
1/(x^2+1)形の積分ではx=tanθとおくのは定石です（これは覚えましょう）。
これを使って
1/(x^2-2x+2)=1/{(x-1)^2+1}から
x-1をtanθに置き換えればよいことがわかります。
参考までに
1/(x^2+3)のような場合は
x=(√3)tとおけば
1/(3t^2+3)=(1/3)(1/(t^2+1))
となりますのでt=tanθとおくことで解けます。
つまり、最初からx=(√3)tanθとおけば解けるということです。

(x-2)/(x^2-2x+2)の積分は
これ以上シンプルにするのは難しいと思いますが、
第1項の
x/(x^2-2)の積分は、
x/(x^2-2)=(1/2){2x/(x^2-2)}=(1/2)(x^2-2)'/(x^2-2)とすれば
不定積分が(1/2)log|x^2-2|とわかり、少し簡単になります。
No.60431 - 2019/08/02(Fri) 12:59:13
☆ Re: / パンチ
ありがとうございます。これ以上シンプルに解くというのは
私はNo.60430のような流れで解きましたが、この問題自体を最初から解くとき、この流れがスタンダードなのでしょうか？
No.60432 - 2019/08/02(Fri) 13:05:59
☆ Re: / らすかる
スタンダードだと思います。
私もそのように解きます。
No.60434 - 2019/08/02(Fri) 13:19:09
☆ Re: / パンチ
ありがとうございます
No.60435 - 2019/08/02(Fri) 13:23:22
☆ Re: / 関数電卓
置換積分の仕方とか、計算の途中経過が欲しいのでしょうが、 こちら の下に不定積分があります。
結果を知ってから置換法を学ぶのも、有効な学習ですよ。
No.60437 - 2019/08/02(Fri) 18:36:23
☆ Re: / パンチ
ありがとうございます！
No.60449 - 2019/08/02(Fri) 23:42:19