[ 掲示板に戻る ]
記事No.60422に関するスレッドです
★ (No Subject) / パンチ

二次曲線y=x^2とy=x^(4)-2x^(2)とで囲まれる図形をy軸の周りに一回転させてできる立体の体積Vは？
解答はV=9/2πです。
解説をお願いします。
No.60402 - 2019/08/01(Thu) 18:36:55
☆ Re: / らすかる
立体を円筒形に薄くスライスしたと考えて
側面積を内側から外側に積分すれば
∫[0〜√3]2πx{x^2-(x^4-2x^2)}dx=9π/2
No.60416 - 2019/08/01(Thu) 23:22:18
☆ Re: / パンチ
図まで書いてみたんですが、どのように考えたら良いのでしょうか？もう少し詳しく教えていただきたいです。
回転させるイメージとかも少し難しいです、、
No.60422 - 2019/08/02(Fri) 11:23:34
☆ Re: / らすかる
回転体を、「横の平面でスライスして縦方向に積分」ではなく
「円筒形にスライスして中心から外方向に積分」します。
例えば、この立体とy軸中心半径1の円筒との交点は
-1≦y≦1の高さ2の円筒（円柱の側面）
のようになりますね。
半径が0に近い時、円筒の高さは0に近く、
半径を増加させるにつれて高さは増えて
半径が1のとき上記に書いたように高さ2、
そしてその後高さが減っていき
（例えばy軸中心半径3/2のときは
　(3/2)^2=9/4, (3/2)^4-2(3/2)^2=9/16なので
　高さは(9/4)-(9/16)=27/16）
半径が√3になった時に高さが0となります。
この「高さ」は半径がxのとき(x^2-(x^4-2x^2))ですから
円筒の表面積は2π×(半径)×(高さ)=2πx(x^2-(x^4-2x^2))
これをx=0〜√3の範囲で積分すれば体積になります。
No.60429 - 2019/08/02(Fri) 12:28:47
☆ Re: / パンチ
ありがとうございます。
図などで表すことは可能でしょうか？
どこの部分を示しているのか？イメージが
しずらくて、、
また計算結果が-9π/2になります、、
No.60433 - 2019/08/02(Fri) 13:16:59
☆ Re: / 関数電卓
『バームクーヘン積分』 で検索すると、たくさんのサイトがヒットします。図が示されているものも多いので、いくつかご覧ください。
No.60438 - 2019/08/02(Fri) 18:55:29
☆ Re: / パンチ
ありがとうございます！解決しました！
No.60458 - 2019/08/03(Sat) 13:12:37