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記事No.605に関するスレッドです
★ 極限 / けい　高三

a>1でkは実数の定数とする。次のAnの極限を求めよ。
(1)An=n/a^n (2)An=n^k/a^n

という問題なんですが、まだ極限習い始めたばかりでよくわかりません…どなたか教えてください。よろしくお願いします。
No.596 - 2008/05/11(Sun) 22:26:56
☆ Re: 極限 / にょろ
(1)番について
nではなく「x」でやってみましょう。

下の図は、

赤:y=x
青:y=a^x
緑:y=1^x

です。

コレを見ると

赤よりも青の方が（一時的には赤の方が大きくても）
青の方がとても速く大きくなることことが分かります。

つまり十分大きいxについては青は赤とは比べ物にならないほど大きくなってしまうのです。

で、問題はn/a^nです。
これは先程「赤/青」ですが、十分xが多きいと青の方が遙かに大きいんです。

要するにAn=10/1000ぐらいにすぐなってしまいます。
もっと大きくしていくと…
An=100/10000000…ぐらいになります。
つまりlimAn=0

ところで、緑はそんなことはないただの「1」です。
これでa>1の理由が分かりますか？

分数系の極限は分かりやすく言うと
「どっちがどれぐらい速い？」ということだと思います。
3x/xを考えると…3xの方がxより３倍速いから3
n/a^nはnよりa^nの方が恐ろしく速いから0

そういうイメージでどうでしょう…

（実際答案に何か書いたら大きな×ですが…）

後はこれを教えて良い物か分かりませんが、
「ロピタルの定理」という分数系の極限でとても有名な定理があります。
（興味があったらしらべてみてください）

(2)もグラフを書いてみましょうよ…
そうすると分かるかもしれません…
（aは３くらいkは2位にすると分かりやすいと思います）
No.605 - 2008/05/12(Mon) 01:27:23