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記事No.60515に関するスレッドです
★ これ教えてください / むなはま
お願いします
できれば法線ベクトルを使って示していただきたい
No.60515 - 2019/08/07(Wed) 12:15:23
☆ Re: これ教えてください / X
方針を。

点(t,logt)を点Qとします。
y=logx
より
y'=1/x
∴点Qにおける接線の方向ベクトルを↑uとすると
↑u=(1,1/t) (A)
又
↑u⊥↑P[t]Q
により
↑u・↑P[t]Q=0 (B)
更に
↑P[t]Q=(t-f(t),logt-g(t)) (C)
(A)(B)(C)から
{t-f(t)}+(1/t){logt-g(t)}=0 (D)
さて、問題の円は点P[t]を中心とし、線分P[t]Qを
半径としてy軸に接するので、円の半径について
f(t)=√{{t-f(t)}^2+{logt-g(t)}^2} (E)
(D)(E)をf(t),g(t)についての連立方程式として解きます。
(条件からt-f(t)＞0に注意して、まずは(D)を使って
(E)からg(t)を消去することを考えます。)
No.60530 - 2019/08/07(Wed) 23:54:21
☆ Re: これ教えてください / X
敢えて法線ベクトルを使うのであれば以下の通り
の方針になります。

点(t,logt)を点Qとします。
y=logx
より
y'=1/x
∴点Qにおける法線の方向ベクトルを↑nとすると
↑n=(1,-t) (A)
又
↑n//↑P[t]Q
により
↑P[t]Q=k↑n (B)
(kは実数)
更に
↑P[t]Q=(t-f(t),logt-g(t)) (C)
(A)(B)(C)から
t-f(t)=k (D)
logt-g(t)=-kt (D)'
さて、問題の円は点P[t]を中心とし、線分P[t]Qを
半径としてy軸に接するので、円の半径について
f(t)=√{{t-f(t)}^2+{logt-g(t)}^2} (E)

(D)(D)'(E)をf(t),g(t),kについての連立方程式
として解きます。
(条件からt-f(t)＞0に注意して、まずは(D)(D)'
を使って
(E)からf(t)をkで表すことを考えます。)
No.60533 - 2019/08/08(Thu) 04:43:18