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No.60521 - 2019/08/07(Wed) 17:12:28
| ☆ Re: 高3 対象高3 卒業生 / らすかる | | | (1)
a=bのとき2式はx^2+ax+a=0, y^2+ay+a=0となるが
「x^2+ax+a=0が整数解をもつ」と「y^2+ay+a=0が整数解をもつ」は同値なので
x^2+ax+a=0が整数解をもつ条件を考えればよい。
x={-a±√(a^2-4a)}/2なのでa^2-4aが平方数でなければならない。
a^2-4a＜a^2-4a+4=(a-2)^2なので
(a-3)^2＜a^2-4aのとき平方数にならない。
これを解くとa＞9/2なので、平方数になるためには少なくともa≦4
またa^2-4a≧0でなければならず、これを解くとa≦0またはa≧4なので
a＞0という条件と合わせるとa^2-4aが平方数になる可能性があるのはa=4のみ。
a=4のときx^2+ax+a=x^2+4x+4=(x+2)^2なので
x=-2という整数解を持つ。
従って条件を満たすaはa=4。
(2)
x^2+ax+b=0の2解をα,β（α≦β）とすると、解と係数の関係から
α+β=-a＜0, αβ=b＞0なのでα≦β＜0
もしβ＜-2とすると
β＜-2の両辺にαを掛けてαβ＞-2α … (a)
またα≦βから-α≧-βで両辺からαを引くと-2α≧-(α+β) … (b)
(a)(b)からb=αβ＞-2α≧-(α+β)=aとなりa＞bという条件に反する。
従ってβ=-1,-2
β=-1のとき
a=-α+1,b=-α
y^2+bx+a=0はy^2-αx+(-α+1)となり
解はy=(α±√(α^2+4α-4))/2なので
少なくともα^2+4α-4が平方数にならなければいけない。
α^2+4α-4≧0の解はα≦-2-2√2,-2+2√2≦α
α≦β=-1なのでα≦-5 … (c)
α^2+4α-4＜α^2+4α+4=(α+2)^2なので
(α+3)^2＜α^2+4α-4のとき平方数にならない。
これを解くとα＜-13/2なので、平方数になるためには少なくともα≧-6 … (d)
(c)(d)からα=-5,-6
α=-5のときy^2+bx+a=y^2+5x+6=(y+2)(y+3)なので条件を満たす。
α=-5,β=-1のときa=6,b=5でこれは条件を満たす解の一つ。… (e)
α=-6のときy^2+bx+a=y^2+6x+7で整数解を持たないので不適。
β=-2のとき
a=-α+2,b=-2α
y^2+bx+a=0はy^2-2αx+(-α+2)となり
解はy=α±√(α^2+α-2)なので
少なくともα^2+α-2が平方数にならなければいけない。
α^2+α-2≧0の解はα≦-2,1≦α
α≦β=-2なのでα≦-2 … (f)
α^2+α-2＜α^2+α+1/4=(α+1/2)^2なので
(α+1)^2＜α^2+α-2のとき平方数にならない。
これを解くとα＜-3なので、平方数になるためには少なくともα≧-3 … (g)
(f)(g)からα=-2,-3
しかしα=-2のときa=4,b=4、α=-3のときa=5,b=6なので
いずれもa＞bという条件を満たさない。
以上により、条件を満たす整数の組(a,b)は(e)だけなので
(a,b)=(6,5)のみ。
# 内容は御確認下さい。
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No.60526 - 2019/08/07(Wed) 22:07:57 |
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