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記事No.60550に関するスレッドです
★ (No Subject) / クレープ
お願いします。

積分しようにも、交点の座標がでず、どうにもできません。
No.60550 - 2019/08/08(Thu) 21:37:12
☆ Re: / ＩＴ
y=ax+3 は、定点A(0,3)を通ります｡
y=e^-x とy=ax+3との2つの交点を P(s,as+3),Q(t,at+3) (s<t)とすると、直観的にはPA=AQ のときに 面積は最小になりそうですね.
（ aが変化してy=ax+3が回転すると
　増える部分の面積＜減る部分の面積　のとき　面積減少
　増える部分の面積＞減る部分の面積　のとき　面積増加
　　となります。）

PA=AQ のとき s=-t なので　e^t=a(-t)+3,e^(-t)=at+3
∴e^t+e^(-t)=6 ∴　e^t=3+√8 ,t=log(3+√8)
a=-(e^t-3)/t=-√8/log(3+√8)
No.60552 - 2019/08/08(Thu) 22:23:52
☆ Re: / 関数電卓
交点の座標が出なくても計算できるのですよ！！！

交点座標をα, β(α＜0＜β) とすると、α,βは方程式 e^(-x)＝ax＋3 の解で、a の関数 ……(1) です。
また、囲まれた面積 S は
　S＝∫[α,β](ax＋3−e^(-x))dx ……(2)
です。さらに、S は a の関数で、S を最小にする a に対し、dS/da＝0 (必要条件) です。

(1)に注意し(2)の dS/da を作ると、ア！ と驚くことが起きます。

もったいぶるわけではありませんが、この後ご自分でやってみてください。IT さんのコメントが納得できるはずです。
No.60554 - 2019/08/08(Thu) 23:04:21
☆ Re: / らすかる
> a=-(e^t-3)/t=-√8/log(3+√8)

3+√8=(1+√2)^2, 1/(1+√2)=√2-1なので
-√8/log(3+√8)=-2√2/{2log(1+√2)}=-√2/log(1+√2)=√2/log(√2-1)
と少し綺麗な形にできますね。
No.60556 - 2019/08/09(Fri) 00:18:44